[論文レビュー] Hyperbolic groups with almost finitely presented subgroups

Robert Kropholler, Federico Vigolo|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、CAT(0)立方複体と無限関係子を伴う群の表示に依拠する新しい構成法を用いて、初めて知られている双曲群に、$FP_2$ ではあるが有限生成でない部分群を含む例を構成している。主な貢献は、双曲群 $G$ とその群準同型 $ ph: G \to \mathbb{Z}$ を構成し、$ ph$ の核が $FP_2$ ではあるが有限生成でないことを示したことである。これにより、双曲群の $FP_2$ 部分群について、双曲的次元が 2 を超えると、有限生成性が保証されないことが示された。

ABSTRACT

In this paper we create many examples of hyperbolic groups with subgroups satisfying interesting finiteness properties. We give the first examples of subgroups of hyperbolic groups which are of type $FP_2$ but not finitely presented. We give uncountably many groups of type $FP_2$ with similar properties to those subgroups of hyperbolic groups. Along the way we create more subgroups of hyperbolic groups which are finitely presented but not of type $FP_3$.

研究の動機と目的

• 双曲群の部分群として、強いホモロジー的有限性性質を持つが、有限生成でないものを構成すること。
• 双曲群の $FP_2$ 部分群は常に有限生成であるという予想に反する事例を提示すること。
• 特にコhomological次元 3 において、$FP_2$ 群を双曲群に埋め込む際の限界を明らかにすること。
• 既知の双曲群埋め込みの障害（$BS(m,n)$ 部分群や無限位数のねじれ部分群）を回避する、非可算個の $FP_2$ 群を生成すること。

提案手法

• 有限生成で無限関係子を伴う群 $H$ で、$\langle S \mid U \rangle$ と表されるもの（$S$ は有限、$U$ は無限）を用いる。
• 各部分集合 $Z \subseteq U$ に対して、商群 $H(Z) = \langle S \mid Z \rangle$ を定義し、群の族を生成する。
• 同型類としての $H(Z)$ が高々可算個であることを示し、非可算個の同型類が存在することを保証する。
• ホモロジー的有限性基準を用いて、これらの $H(Z)$ のうち非可算個が $FP_2$ であることを示す。
• 三部グラフのフラッグ複体 $\Gamma_A$ と $\Gamma_B$ を用い、積構造 $\prod_{i=1}^3 A_i * B_i$ を持つ CAT(0)立方複体から、双曲群 $G$ を構成する。
• 最大部分複体 $\mathbf{X}_{\Gamma_A,\Gamma_B}$ を定義し、その基本群が望ましい双曲群 $G$ を与える。さらに、$\ker(\phi)$ が $FP_2$ ではあるが有限生成でないような群準同型 $\phi: G \to \mathbb{Z}$ を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲群の部分群として、$FP_2$ ではあるが有限生成でないものが存在しうるか？
• RQ2 双曲群の部分群において、$FP_2$ 性質と有限生成性は同値か？
• RQ3 非可算個の $FP_2$ 群で、$BS(m,n)$ 部分群や無限位数のねじれを含まないものがあり、それらが双曲群に埋め込める可能性があるか？
• RQ4 $FP_2$ 群を双曲群に埋め込む際の障害は何か？ それらは克服可能か？

主な発見

• この論文は、双曲群 $G$ と群準同型 $ ph: G \to \mathbb{Z}$ を構成し、$ ph$ の核が $FP_2$ ではあるが有限生成でないことを示した。これは、このような例が初めて得られたものである。
• 核 $ ph$ は $FP_3$ ではないため、この現象は $FP_2$ に特有であり、より高い有限性性質への拡張は不可能であることが示された。
• 群 $H(Z) = \langle S \mid Z \rangle$ の中には、同型類としては高々可算個であるが、$FP_2$ であるものが非可算個存在する。
• 構成された $FP_2$ 群は、すべて既知の双曲群埋め込みの障害（$BS(m,n)$ 部分群や無限位数のねじれ部分群）を回避している。
• 三部グラフのフラッグ複体を用いた CAT(0)立方複体の構成により、非正曲率と双曲性が保証される。
• この方法により、双曲群のコホモロジー次元が 3 の場合、$FP_2$ と有限生成性の同値性が成立しないことが示された。これは次元 2 とは異なり、成立しない。