[論文レビュー] Hyperbolic inverse problem with data on disjoint sets

Yavar Kian, Yaroslav Kurylev+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2016

Numerical methods in inverse problems参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathcal{S}$ と $\mathcal{R}$ が非交差する集合上で部分的なディリクレ・トゥ・ノイマンデータが与えられたとき、双曲型波動方程式における下位係数 $A$ と $q$ の一意的回復を、$\mathcal{R}$ の厳密な凸性と $\mathcal{S}$ からの時間 $T/2$ 内の正確な可制御性を用いて確立する。主な結果は、$\mathcal{S}$ と $\mathcal{R}$ が非交差する場合であっても、$\mathcal{R}$ の近傍において $A$ と $q$ がゲージ同値を除いて一意に決定されることを示している。

ABSTRACT

We consider a restricted Dirichlet-to-Neumann map associated to a wave type operator on a Riemannian manifold with boundary. The restriction corresponds to the case where the Dirichlet traces are supported on one subset of the boundary and the Neumann traces are restricted on another subset. We show that the restricted Dirichlet-to-Neumann map determines the lower order terms in the wave equation, up the natural gauge invariances, along a convex foliation of the manifold. We allow the lower order terms to be non-self-adjoint, and in particular, the corresponding physical system may have dissipation of energy.

研究の動機と目的

• 双曲型波動方程式における下位係数 $A$ と $q$ の逆問題を、$\mathcal{S}$ と $\mathcal{R}$ が非交差する集合上で部分的な境界測定値から解くこと。
• 観測領域と励起領域が重ならないという課題に直面する際、標準的手法が観測領域と励起領域の重複が欠如するため機能しないことへの対処。
• 幾何的条件として $\mathcal{R}$ の厳密な凸性と $\mathcal{S}$ からの時間 $T/2$ 内の正確な可制御性を満たす場合、$A$ と $q$ がゲージ不変性を除いて一意に決定されることを確立すること。
• 非交差するデータ集合であっても、$\mathcal{R}$ の厳密な凸性を活用した局所的波動解の構築に基づく、新規な技術の開発。

提案手法

• 時間 $T$ において $\mathcal{R}$ の近傍にエネルギーを集約させるように、$(0,T)\times\mathcal{S}$ 上に台を持つ境界源 $f$ を構築し、$\mathcal{R}$ の厳密な凸性を用いてエネルギーの局在化を実現する。
• 境界源 $f$ とノイマントレースの関係を表す反応演算子 $\Lambda_{\mathcal{S},\mathcal{R}}^T$ を定義する。ここで $\Lambda_{\mathcal{S},\mathcal{R}}^T$ は $f \mapsto (\partial_\nu u_f - \frac{1}{2}(A,\nu)_g u_f)|_{(0,T)\times\mathcal{R}}$ である。
• ゲージ変換枠組みを適用する：$A_\kappa = A + 2\kappa^{-1}\operatorname{grad}_g \kappa$、$q_\kappa = q + \kappa(A - \Delta_g)\kappa^{-1}$。この下で $\Lambda_{\mathcal{S},\mathcal{R}}^T$ は不変のままである。
• 時間 $T/2$ 内で $\mathcal{S}$ からの正確な可制御性を用いて、任意の点 $M$ に解が到達可能であることを保証し、近似列の構築を可能にする。
• $L^2(M)$ 内の弱収束と密度論的議論を用いて、時間 $T$ における解の極限を分析し、$\mathcal{R}$ の近傍でデルタ関数に類似した測度に収束することを示す。
• $v_{1,\phi}(T,\cdot)$ と $v_{2,\phi}(T,\cdot)$ が随伴問題を満たすことを用いて、異なる係数集合からの解を関連付け、内積恒等式を介して一意性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 源と観測領域 $\mathcal{S}$ と $\mathcal{R}$ が非交差する場合、双曲型波動方程式における下位係数 $A$ と $q$ は、部分的な境界データから一意に回復可能か？
• RQ2 $\mathcal{R}$ と $\mathcal{S}$ の幾何的条件および制御理論的条件として、$A$ と $q$ がゲージ不変性を除いて一意に決定されるために必要な条件は何か？
• RQ3 $\mathcal{S}$ と $\mathcal{R}$ が非交差する場合、$\mathcal{S}$ 上の境界源のみを用いて、時間 $T$ に $\mathcal{R}$ の近傍に集中する解をどのように構築できるか？
• RQ4 非自己共役項（$A$, $q$）の存在が逆問題に与える影響はどの程度で、この設定ではゲージ不変性はどのように扱われるか？

主な発見

• 反応演算子 $\Lambda_{\mathcal{S},\mathcal{R}}^T$ は、$\mathcal{R}$ が厳密に凸であり、波動方程式が時間 $T/2$ 内で $\mathcal{S}$ から正確に可制御である限り、$\mathcal{R}$ の近傍において $A$ と $q$ をゲージ変換を除いて一意に決定する。
• 適切な境界源 $f$ を構築することで、$\mathcal{S}$ 上に台を持つ $f$ を用いて、時間 $T$ における解 $u_f(T,\cdot)$ を $\mathcal{R}$ の近傍に局在化させることができる。この際、$\mathcal{R}$ の厳密な凸性が鍵的役割を果たす。
• 非交差する $\mathcal{S}$ と $\mathcal{R}$ であっても、逆問題は解ける。これは、このような状況では固定周波数データからの幾何学的回復が不可能であるのとは対照的である。
• 本手法は、時間 $T$ における解の弱極限がデルタ型測度に収束することに依存しており、これにより随伴問題の解との内積恒等式を介して、$A$ と $q$ の点関数値の回復が可能になる。
• 複素数値の $A$ と $q$ に対しても結果は成り立つため、エネルギー散逸を伴う非自己共役系に対しても適用可能である。
• より強い幾何的仮定（凸フォリエーション条件）の下で、局所的結果を全多様体にまで拡張したグローバル一意性結果が確立された。