[論文レビュー] Hyperbolic measure of maximal entropy for generic rational maps of P^k

Gabriel Vigny|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$s$-次の力学的次数 $\lambda_s(f)$ が他のすべての次数を厳密に上回るとき、一般の有理写像 $f$ に対して双曲的でエントロピー最大の測度の存在を確立する。スーパー・ポテンシャルと滑らかなカレントへの近似を用いて、$A$ が極小な集合の外にあるとき、$f \circ A$ に対して測度 $\nu^\prime = \pi_* (\widetilde{T}_1^+ \wedge \widetilde{T}_{k-s}^-)$ を構成し、それがエントロピー $\log \lambda_s(f)$ と完全な双曲性を持つことを証明する。これにより、双曲的でない写像に対しても既知の結果が拡張される。

ABSTRACT

Let f be a dominant rational map of P^k such that there exists s lambda_l(f) for all l. Under mild hypotheses, we show that, for A outside a pluripolar set of the group of automorphisms of P^k, the map f o A admits a hyperbolic measure of maximal entropy log(lambda_s(f)) with explicit bounds on the Lyapunov exponents. In particular, the result is true for polynomial maps hence for the homogeneous extension of f to P^{k+1}. This provides many examples where non uniform hyperbolic dynamics is established. One of the key tools is to approximate the graph of a meromorphic function by a smooth positive closed current. This allows us to do all the computations in a smooth setting, using super-potentials theory to pass to the limit.

研究の動機と目的

• $s$-次の力学的次数 $\lambda_s(f)$ が他のすべての次数を厳密に上回るとき、$\mathbb{P}^k$ 上の有理写像に対して双曲的でエントロピー最大の測度の存在を確立すること。
• 代数的安定性や特異点集合の次元に関する制約がない一般の有理写像へ、これまでの双曲的写像や多項式的写像に関する結果を拡張すること。
• $A \in \mathrm{Aut}(\mathbb{P}^k)$ が極小集合の外にある一般の小さな摂動 $f \circ A$ に対して、そのような測度が存在することを示すこと。
• 特異性を扱うためにスーパー・ポテンシャルとカレント近似を用いた構成的枠組みを提供すること。

提案手法

• 有理写像 $f$ のグラフを、吹き上げ構成 $\pi: \mathbb{P}^{k+1} \to \mathbb{P}^k$ を用いて滑らかな正の閉カレントで近似する。
• $\mathbb{P}^{k+1}$ 上での持ち上げ $\widetilde{f}$ を定義し、$\widetilde{f}$ のためのグリーン・カレント $\widetilde{T}_1^+$ と $\widetilde{T}_{k-s}^-$ を構成する（これらが楔積可能であると仮定）。
• 押し出し $\pi_*$ を用いて、カレント $\widetilde{T}_1^+ \wedge \widetilde{T}_{k-s}^-$ を $\mathbb{P}^k$ に持ち上げ、候補となる測度 $\nu^\prime$ を得る。
• デ・テーリンの定理を用いて、$\nu^{\prime}$ が $\log \mathrm{dist}(\cdot, I)$ を積分することを証明し、双曲性を示す。
• ハルトグスの収束を用いて、$\nu^\prime$ が滑らかなカレント $\frac{1}{(d \cdot d_s)^n} (f^n)^* (\omega^s) \wedge \pi_* (\cdots)$ の極限として得られることを示し、不変性とエントロピーの計算を保証する。
• $\nu^\prime$ をより滑らかなカレント $T_s^+ \wedge T_s^-$ と比較し、$\nu$ が $\nu^\prime$ よりも H-正則性が高いことを示し、エントロピーと双曲性の証明を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\lambda_s(f) > \lambda_l(f)$ がすべての $l \neq s$ に対して成り立つとき、$\mathbb{P}^k$ 上の一般の有理写像に対して、双曲的でエントロピー最大の測度が存在するか？
• RQ2 双曲的写像や多項式的写像に制限されない一般の有理写像へ、そのような測度の構成を拡張することは可能か？
• RQ3 特異性が存在する状況下でも、滑らかなカレントによる近似とスーパー・ポテンシャル理論を用いて測度を構成することは可能か？
• RQ4 一般の $A$ に対して $f \circ A$ に対して構成された測度 $\nu^\prime$ は、正確にエントロピー $\log \lambda_s(f)$ と完全な双曲性を持つか？
• RQ5 測度が最大エントロピーであることを示すために、$\nu^\prime = \nu$ を示すことで一意性を確立できるか？

主な発見

• $A \in \mathrm{Aut}(\mathbb{P}^k)$ が極小集合の外にあるとき、$f \circ A$ はエントロピー $\log \lambda_s(f)$ を持つ双曲的でエントロピー最大の測度を有する。
• 測度 $\nu^\prime = \pi_* (\widetilde{T}_1^+ \wedge \widetilde{T}_{k-s}^-)$ は $f$ に関して不変であり、相対エントロピーの見積もりとグロモフの議論によりエントロピー $\log \lambda_s(f)$ を持つ。
• 測度 $\nu^\prime$ は、$\log \mathrm{dist}(\cdot, I)$ を積分するため、デ・テーリンの定理を適用した持ち上げられた力学系から双曲的であることが示される。
• 特異カレント $T_s^+ \wedge T_s^-$ を吹き上げと持ち上げを用いて滑らかなカレントで近似することで、スーパー・ポテンシャル理論の適用が可能になる。
• 極限 $\nu^\prime = \lim_{n \to \infty} \pi_* \left( \frac{1}{(d \cdot d_s)^n} (\widetilde{f}^n)^* (\Omega_{s+1}) \wedge \frac{1}{(d \cdot d_s)^n} (\widetilde{f}^n)_* (\Omega_{k-s}) \right)$ はハルトグスの意味で収束し、不変性を保証する。
• 測度 $\nu = T_s^+ \wedge T_s^-$ は $\nu^\prime$ よりも H-正則性が高い。定理4.2および[4]の系3を適用することで、エントロピーと双曲性が確認される。