[論文レビュー] Large entropy measures for endomorphisms of CP(k)

Christophe Dupont|ArXiv.org|Nov 24, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、符号化技術と記号的力学系におけるギブズ測度を用いて、$\mathbb{C}\mathbb{P}^k$ 上の正則自己準同型写像に対して、一連のエルゴディック不変測度を構成する。これらの測度は、$\log d^k$ に近い測度的エントロピー、正のリヤプノフ指数、相関関係の指数的減衰、およびほぼ確実な不変性原理を有しており、ジュリア集合上に台を持ち、最大エントロピー測度に対して特異的である。

ABSTRACT

Let $f$ be an holomorphic endomorphism of $\mathbb{C}\mathbb{P}^k$. We construct by using coding techniques a class of ergodic measures as limits of non-uniform probability measures on preimages of points. We show that they have large metric entropy, close to $\log d^k$. We establish for them strong stochastic properties and prove the positivity of their Lyapunov exponents. Since they have large entropy, those measures are supported in the support of the maximal entropy measure of $f$. They in particular provide lower bounds for the Hausdorff dimension of the Julia set.

研究の動機と目的

• 正則自己準同型写像 $f: \mathbb{C}\mathbb{P}^k \to \mathbb{C}\mathbb{P}^k$ に対して、大きな測度的エントロピーを持つエルゴディック不変測度のクラスを構成すること。
• これらの測度に対して、相関関係の指数的減衰やほぼ確実な不変性原理といった強い確率的性質を確立すること。
• 構成された測度が正のリヤプノフ指数を有すること、および最大エントロピー測度 $\mu$ に対して特異的であることを証明すること。
• これらの測度の台がジュリア集合 $\mathcal{J} = \mathrm{supp}\,\mu$ 内に含まれることを示し、そのハウスドルフ次元に対する下界を与えること。
• $\mathbb{C}\mathbb{P}^1$ における符号化技術を、高次元の複素射影空間へと拡張し、大きなエントロピーを有する力学系に応用すること。

提案手法

• 正則自己準同型写像の前像構造をモデル化するため、全シフト空間 $\Sigma = \{1, \ldots, d^k\}^{\mathbb{N}}$ 上の記号的力学系を用いる。
• Hölder連続なポテンシャル $\varphi$ に対して、$\tau_\theta(\varphi) > 0$ を満たす小さな $\theta$ に対して、ギブズ測度 $\nu_\varphi$ を $\Sigma$ 上に適用する。
• 一般の $z \notin \mathcal{F}_\theta$（零体積の例外的集合）に対して、$\mathcal{A}^n$ から $f^{-n}(z)$ への適合する双対写像 $z_n$ を構成する。
• ギブズ測度 $\nu_\varphi$ を $z_n$ を介して押し上げることで、$f^{-n}(z)$ 上の有限測度 $\nu_n$ を得る。これらは弱収束により $f$-不変測度 $\nu$ に収束する。
• 局所座標における後退グラフ変換と収縮の議論を用いて、力学系下での不変多様体の存在と正則性を保証する。
• 特に $h_{\nu_\varphi}(s) > \log d^{k-\theta}$ となるように、圧力とエントロピーの推定を用いて、極限測度 $\nu$ の大きな測度的エントロピーを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 符号化技術を $\mathbb{C}\mathbb{P}^k$ 上の正則自己準同型写像に拡張し、大きな測度的エントロピーを持つエルゴディック測度を構成できるか？
• RQ2 構成された測度は、相関関係の指数的減衰やほぼ確実な不変性原理といった強い確率的性質を有するか？
• RQ3 構成された測度と最大エントロピー測度 $\mu$ の間には、台や特異性の観点からどのような関係があるか？
• RQ4 これらの測度のリヤプノフ指数は、最大エントロピー測度のそれと比べてどう異なるか？
• RQ5 これらの測度は、ジュリア集合のハウスドルフ次元に対する下界の構築にどの程度寄与するか？

主な発見

• 構成された測度 $\nu$ は、測度的エントロピー $h_\nu(f) = h_{\nu_\varphi}(s) > \log d^{k-\theta}$ を有し、$\theta \to 0$ のとき、トポロジカルエントロピー $\log d^k$ に近づく。
• 測度 $\nu$ は、Hölder連続な観測関数に対して、ほぼ確実な不変性原理を満たし、中心極限定理や反復対数法則の成立を示唆する。
• 測度 $\nu$ のリヤプノフ指数は、下から $\frac{1}{2}(h_\nu(f) - \log d^{k-1}) > 0$ で抑えられ、正であることが確認される。
• 測度 $\nu$ の台はジュリア集合 $\mathcal{J} = \mathrm{supp}\,\mu$ 内に含まれ、$h_\nu(f) < \log d^k$ であるため、$\nu_\varphi$ が $\Sigma$ 上で最大エントロピーでない限り、$\mu$ に対して特異的である。
• 重み $w_\alpha \leq d^{-k+\eta}$ を持つ積型ギブズ測度に対して、構成は混合的 $f$-不変測度 $\nu$ を得る。そのエントロピーは $h_\nu(f) > \log d^{k-\eta}$ である。
• 構成に失敗する点 $z$ の例外的集合 $\mathcal{F}_\theta$ は零体積を有するため、一般の $z$ に対して結果が成り立つ。