[論文レビュー] Hyperbolically embedded virtually free subgroups of relatively hyperbolic groups

Yoshifumi Matsuda, Shin-ichi Oguni+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、任意の非可換的でない有限生成部分群を有する相対的双曲的群が、同じ族に関して双曲的に埋め込まれた、有限生成で、非アーベル的で、可換的でない自由部分群を含むことを確立する。証明は、相対的双曲的状況下での部分群構成を通じて、強い相対的歪みとほぼ正規性基準を組み合わせるものであり、非可換的でない自由部分群の既知の結果を、ねじれのない双曲的群における準凸および正規性自由部分群への一般化に拡張する。

ABSTRACT

We show that if a group is not virtually cyclic and is hyperbolic relative to a family of proper subgroups, then it has a hyperbolically embedded subgroup which contains a finitely generated non-abelian free group as a finite index subgroup.

研究の動機と目的

• 相対的双曲的群で、非可換的でない有限生成の、ほぼ自由な自由部分群が、同じ族に関して双曲的に埋め込まれることの存在を確立すること。
• ねじれのない双曲的群における正規および準凸自由部分群に関する既知の結果を、相対的双曲的状況へ一般化すること。
• 強相対的歪みとほぼ正規性を用いて、このような部分群を特徴付けること。強準凸部分群に関する既存の結果を活用すること。
• 二重コセット解析と部分群の交差制御を用いた、このような部分群の埋め込みの構成的メソッドを提供すること。

提案手法

• 双曲的に埋め込まれた部分群は、周辺族に関して強い相対的歪みを示し、環境群においてほぼ正規である、というオシンの特徴づけを用いる。
• 定理2.5を適用して、周辺族に関して強準凸な部分群は強い相対的歪みを示すことを示す。
• 群 $ G $ の強準凸部分群 $ M $ 内に、有限生成で、非アーベル的で、可換的でない自由部分群 $ V $ を構成し、$ V $ が $ M $ でほぼ正規であるように保証する。
• 有限個の二重コセット $ Mg_lM $ に対して、$ mVm^{-1} \cap M_l $ の交差を制御し、有限性を保証することで、$ G $ におけるほぼ正規性を維持する。
• $ M $ が $ \mathbb{K} $ に関して強準凸であるため、$ V $ は $ G $ において強相対的歪みを継承する。
• [8, 定理1.6] および [8, 推論8.7] を適用して、無限大の交差を持つ二重コセットの数を制御し、共役による無限大の交差が有限であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の非可換的でない群 $ G $ が、真部分群の族 $ \mathbb{K} $ に関して双曲的である場合、$ \mathbb{K} $ に関して双曲的に埋め込まれた、有限生成で、非アーベル的で、可換的でない自由部分群を含むか？
• RQ2 強相対的歪みとほぼ正規性基準を用いて、このような部分群の存在を確立できるか？
• RQ3 自由部分群の共役の交差構造をどのように制御すれば、環境の相対的双曲的群においてほぼ正規性を保証できるか？
• RQ4 ねじれのない場合に、この結果を強化し、$ G $ に関して双曲的に埋め込まれたランク2の自由部分群を生成できるか？
• RQ5 無限大の交差を持つ二重コセットは、ほぼ正規性を妨げる要因として果たす役割を果たすが、それらは体系的に排除できるか？

主な発見

• 任意の非可換的でない群 $ G $ が、真部分群の族 $ \mathbb{K} $ に関して双曲的である場合、$ \mathbb{K} $ に関して双曲的に埋め込まれた、有限生成で、非アーベル的で、可換的でない自由部分群 $ V $ を含む。
• 部分群 $ V $ は、強準凸部分群 $ M $ の有限指数部分群として構成され、$ G $ における強い相対的歪みを保証する。
• 有限個の二重コセットにおける有限交差条件を通じて、$ M $ の共役との交差を制御することで、$ G $ におけるほぼ正規性が保証される。
• ねじれのない $ G $ の場合、ランク2の自由部分群が $ \mathbb{K} $ に関して双曲的に埋め込まれる。これは、以前の結果を改善する。
• 無限大の交差を持つ二重コセット $ MgM $ の有限性に依存しており、このような交差が $ M $ の有限指数部分群であるのは、有限個の $ g $ のみに限る。
• 最終的な部分群 $ V $ は、両方の条件を満たす——強い相対的歪みとほぼ正規性——したため、定理2.3により、$ G $ に双曲的に埋め込まれる。