[論文レビュー] Hyperbolicity versus non-hyperbolic ergodic measures inside homoclinic classes

Cheng, Cheng, Sylvain Crovisier+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$C^1$-一般な微分同相写像に対して、任意の非双曲的ホモクラインクラスは、非双曲的エルゴード測度を必ず支持することを証明し、DíazとGorodetskiの予想を裏付ける。主な議論は、双曲性が成立しない場合に、リャプノフ指数と摂動を用いて異次元サイクルまたは周期的吸引域を検出することに依拠しており、一般性を用いて異なるインデックスの周期点が存在しないことを排除し、測度の非双曲的性を確立する。

ABSTRACT

We prove that, for $C^1$-generic diffeomorphisms, if a homoclinic class is not hyperbolic, then there is a non-hyperbolic ergodic measure supported on it. This proves a conjecture by Díaz and Gorodetski [28]. We also discuss the conjectured existence of periodic points with different stable dimension in the class.

研究の動機と目的

• C^1-一般な微分同相写像の非双曲的ホモクラインクラスにおける非双曲的エルゴード測度の存在に関するDíazとGorodetskiの予想を解決すること。
• グローバル系ではなくホモクラインクラスに焦点を当てることで、非双曲的力学のより広範な予想の局所的バージョンを確立すること。
• リャプノフ指数と周期軌道構造の分析を通じて、ホモクラインクラスにおける非双曲的性の動的意味を明確にすること。
• ホモクラインクラスにおける双曲性の欠如が、摂動技術と一般性の議論を用いて非双曲的不変測度の存在を示すこと。

提案手法

• 周期点がチェーン再帰集合に dense に分布し、ホモクラインクラスが周期軌道を含むチェーン再帰クラスに一致することを保証する $C^1$-一般性を用いる。
• 非一様双曲性に関する $C^1$-安定性予想と結果を用い、不変測度のリャプノフ指数を分析する。
• リャプノフ指数がゼロに近づく場合に、摂動技術を用いて異次元サイクルまたは吸引域を検出する。これには定理2.9と命題3.1を用いる。
• ホモクラインクラス上の支配的分割と最細支配的分割を分析し、可能な動的構造を分類する。
• 非双曲的性は、非双曲的測度が存在するか、または異なるインデックスの周期点が存在することを意味するが、一般性により後者を排除する。
• 測度の近似に関する結果と、小刻みな摂動における中心リャプノフ指数の振る舞いを応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C^1-一般な微分同相写像の任意の非双曲的ホモクラインクラスは、非双曲的エルゴード測度を支持するか？
• RQ2 周期軌道のリャプノフ指数とその測度の振る舞いから、ホモクラインクラスにおける双曲性の欠如を検出できるか？
• RQ3 異なる安定次元を持つ周期点を含むホモクラインクラスでは、どのような動的障害が生じるか？
• RQ4 非双曲的ホモクラインクラスにおいて、摂動が異次元サイクルまたは吸引域を生成する条件は何か？
• RQ5 一般性の仮定の下で、非双曲的ホモクラインクラスに異なるインデックスの周期点が存在しないことを排除できるか？

主な発見

• C^1-一般な微分同相写像において、ホモクラインクラス $H(p)$ が双曲的でない限り、少なくとも一つの非双曲的エルゴード測度を支持する。
• H(p) 内の周期点の列で、リャプノフ指数が両側からゼロに近づく場合、$C^1$-小な摂動により異次元サイクルを生成する可能性がある。
• H(p) 内のすべての周期点が同じインデックスを持つ場合、かつクラスが非双曲的であるならば、1次元中心バンドルを伴う部分的双曲的分割が存在するか、2次元中心バンドルを伴う最細支配的分割が存在する。
• 周期軌道の中心リャプノフ指数が正の側からゼロに近づく場合、任意に小さな摂動で $H(p)$ に収束する吸引域の列を生成でき、測度の非双曲的性を示唆する。
• C^1-一般性の下では、H(p) に異なるインデックスの周期点が存在しないことが保証され、非双曲的性が測度論的構造に反映されることを結論づけることができる。
• この結果は非周期的クラスに拡張されない。なぜなら、C^1-一般な微分同相写像で非周期的クラスが存在し、それらはすべて双曲的エルゴード測度のみを支持する例が存在するからである。