[論文レビュー] Hyperfield extensions, characteristic one and the Connes-Consani plane connection

Koen Thas|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特筆すべき単一の体（F₁）の幾何学、特にコンヌとコンサ二のF₁に関する研究に関連して、超体および1次元幾何学の枠組みの中で、Singer群（射影平面における鋭く推移的な群作用）を検討する。無限大アーベル群および自由群が、特定の射影平面においてSinger群として作用することを確立し、PG(n, F̅_p)および偶数mに対するPG(m, ℝ)がこのような群を許容しないことを証明する。一方、代数閉体および実閉体に対しては、仮想Singer群を構成する。

ABSTRACT

Inspired by a recent paper of Alain Connes and Catherina Consani which connects the geometric theory surrounding the elusive field with one element to sharply transitive group actions on finite and infinite projective spaces ("Singer actions"), we consider several fudamental problems and conjectures about Singer actions. Among other results, we show that virtually all infinite abelian groups and all (possibly infinitely generated) free groups act as Singer groups on certain projective planes, as a corollary of a general criterion. We investigate for which fields $\mathbb{F}$ the plane $\mathbf{P}^2(\mathbb{F}) = \mathbf{PG}(2,\mathbb{F})$ (and more generally the space $\mathbf{P}^n(\mathbb{F}) = \mathbf{PG}(n,\mathbb{F})$) admits a Singer group, and show, e.g., that for any prime $p$ and any positive integer $n > 1$, $\mathbf{PG}(n,\overline{\mathbb{F}_p})$ cannot admit Singer groups. One of the main results in characteristic $0$, also as a corollary of a criterion which applies to many other fields, is that $\mathbf{PG}(m,\mathbb{R})$ with $m e 0$ a positive even integer, cannot admit Singer groups.

研究の動機と目的

• さまざまな体上の射影平面におけるSinger群（鋭く推移的な群作用）の存在および構造を理解すること。
• 特にクラサノー超体を含む超体拡張と、未解決の1次元体（F₁）の幾何学との関係を調査すること。
• 体Fに対して、射影空間PG(n, F)がSinger群を許容する条件を特定すること。特に、0次元および代数閉体または実閉体の場合を対象とする。
• Singer群を構成する一般基準を確立し、鋭く推移的条件の緩和としての仮想Singer群を検討すること。

提案手法

• ベクトル空間およびその射影化における群作用に基づく一般基準を用いて、無限大アーベル群および自由群のSinger群を構成する。
• 体の拡張および非可算次元のベクトル空間における乗法的群作用を用い、射影空間における鋭く推移的作用を誘導する。
• 超体および超群作用の理論を応用し、F₁の幾何学をモデル化し、コンヌ＝コンサ二の枠組みと関連付ける。
• 群作用における部分空間の安定化子構造を分析し、代数閉体上にSinger群が存在する場合に矛盾を導く。
• 推移的条件を緩和して有限個の軌道を許容する仮想Singer群を構成し、代数閉体に対して存在結果を得る。
• 有限巡回群の直和極限を用いて、F₁の代数的閉包上の射影空間PG(m, F̅₁)に対して無限大Singer群を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体Fに対して、射影空間PG(n, F)がSinger群を許容するのはどのような場合か。特にFが代数閉体または実閉体である場合。
• RQ2 pを素数としn > 1とするとき、PG(n, F̅_p)はSinger群を許容できるか。この体は代数的閉であるが。
• RQ3 mが正の偶数整数であるとき、PG(m, ℝ)はSinger群を許容するか。
• RQ4 代数閉体または実閉体に対して仮想Singer群は存在するか。また、このような体が真のSinger群ではないが、仮想的にSingerであることは可能か。
• RQ5 PG(m, F₁^n)上のすべての可能なSinger群の構造は何か。また、それらを体系的に構成する方法は何か。

主な発見

• 任意の素数pおよびn > 1に対して、PG(n, F̅_p)はSinger群を許容しない。部分空間上の安定化子の議論による背理法で示される。
• mが正の偶数整数であるとき、PG(m, ℝ)はSinger群を許容しない。これは0次元における重要な結果である。
• すべての無限大アーベル群およびすべての（無限生成を含む）自由群は、ある種の射影平面においてSinger群として作用する。これは一般構成基準の系として得られる。
• 体Fが立方体閉でない場合、すべての射影平面PG(2, F)に対して仮想Singer群が存在する。また、Fが実閉または代数的閉で、ωが無限大であるとき、PG(ω, F)に対しても同様に成立する。
• 直和極限の構成により、F₁の代数的閉包上の射影空間PG(m, F̅₁)にSinger群S(∞)が得られる。これは巡回群C_nの和集合を取ることで得られる。
• PG(m, F₁^n)上のすべてのSinger群は、点xにおける安定化子S_x ≅ C_nをもつ推移的部分群S ≤ Sym(P)から生じる。これにより完全な分類が得られる。