[論文レビュー] Hypergeometric functions, their epsilon expansions and Feynman diagrams

M.Yu. Kalmykov, Bernd A. Kniehl+2 more|ArXiv.org|Oct 20, 2008

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ひとこと要約

本稿では、1ループフェ Feynman 図の $\varepsilon$ 展開を一般化された超幾何関数を用いて解析的に計算可能な方法を提示する。主積分の正確な表現を ${}_2F_1$、${}_3F_2$、${}_4F_3$ 関数を用いて得ており、引数はグラム行列式およびカイリー行列式に依存している。また、主要な図について、すべての $\varepsilon$ 段階の展開を多重多ログスの形で与える。

ABSTRACT

We review the hypergeometric function approach to Feynman diagrams. Special consideration is given to the construction of the Laurent expansion. As an illustration, we describe a collection of physically important one-loop vertex diagrams for which this approach is useful.

研究の動機と目的

• 1ループフェインマン図の $d = 4 - 2\varepsilon$ の周りにおけるローラン級数展開（$\varepsilon$ に関して）を、超幾何関数を用いて体系的に計算する方法の開発。
• グラム行列式およびカイリー行列式を通じて、運動量不変量と超幾何関数のパラメータの間の明確な対応関係を確立すること。
• 頂点型図の主積分に対して、一般化された超幾何関数を用いた正確な解析的表現を提供すること。
• 複数の質量スケールおよびゼロでないカイリー行列式を持つ図に対しても、超幾何関数技法の適用範囲を拡張すること。
• 特定の図のすべての $\varepsilon$ 段階の展開が、単位の平方根に関する多重多ログスの形で表現可能であることを示すこと。

提案手法

• 時空次元における差分方程式とメリン＝バーンズ技法を用いて導出された1ループ $N$ 点図の超幾何関数表現を利用する。
• 主積分を、運動量不変量 $Q^2/m^2$ や $Q_i^2/m^2$ に比例する引数をもつ一般化された超幾何関数 ${}_pF_q$ として表現する。
• 超幾何関数の引数と、図の幾何的不変量（グラム行列式およびカイリー行列式）との1対1対応関係に依存する。
• ダヴィディチェフ＝タラソフのアルゴリズムを用いて、任意の1ループ図を、指数がずらされた propagator をもつ主積分の集合に還元する。
• $\varepsilon$-展開技法を用いて、$d = 4 - 2\varepsilon$ の周りのローラン級数係数を計算し、UVおよびIR特異性を持つ図の数値評価を可能にする。
• 連接関係および微分還元技法を用いて、図に現れる超幾何関数の $\varepsilon$-展開を体系的に生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1ループフェインマン図は、一般化された超幾何関数を用いてどのように体系的に表現できるか？
• RQ2 図の運動量不変量と、その表現における超幾何関数のパラメータとの間の明確な関係は何か？
• RQ3 超幾何関数の恒等式を用いて、主積分の $\varepsilon$-展開を解析的に計算できるか？
• RQ4 グラム行列式およびカイリー行列式の値がゼロまたは非ゼロである場合、超幾何関数表現の構造にどのような影響を与えるか？
• RQ5 主積分のすべての $\varepsilon$ 段階の展開を、どの程度まで多重多ログスの形で表現できるか？

主な発見

• 任意の propagator の指数をもつ1ループ頂点図 $C_7$ は、$Q^2/m^2$ に比例する引数をもつ ${}_3F_2$ 関数として表現され、係数にはガンマ関数が含まれる。
• 図 $C_8$ は、$n/2 - 1$、$3 - n/2$、$n/2$ に依存するパラメータをもつ ${}_3F_2$ 超幾何関数として表現され、その引数は $Q^2/(4m^2)$ である。
• $C_9$ については、それぞれ $Q_1^2/m^2$ および $Q_2^2/m^2$ を引数とする2つの ${}_3F_2$ 関数の差として主積分が与えられ、$Q_1^2 = Q_2^2$ のときには消える。
• 図 $C_{10}$ ではカイリー行列式がゼロとなるため、propagator 型図の線形結合に還元され、二つの ${}_2F_1$ 関数を用いて、二乗運動量不変量を含む引数で表現される。
• 主積分 $C_{11}$ は、すべての $\varepsilon$ 段階の展開が、単位の平方根に関する多重多ログスの形で表現可能である。
• 図 $C_{12}$ は、$C_8$ と同様の構造を持つ2つの ${}_3F_2$ 関数の線形結合として表現され、$Q_i^2$ に重み付けされた項の差と、分母に $Q_1^2 - Q_2^2$ を含む。