[論文レビュー] Hypergeometric Multiple Orthogonal Polynomials and Random Walks

Amílcar Branquinho, Juan E. Fernández-Díaz+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2021

Mathematical functions and polynomials参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ガウス–ボレル分解枠組みを通じて超幾何的多重直交多項式を導入し、構造的行列系 S および ~S を用いてタイプ I およびタイプ II の多重直交多項式を構成する。主な貢献は、多項式列とその双対線形形式の間の完全な双対性を確立する、∫Δ B(m)(x)Q(k)(x)dμ(x) = δm,k という二重直交性関係の導出にある。

ABSTRACT

The recently found hypergeometric multiple orthogonal polynomials on the step-line by Lima and Loureiro are shown to be random walk polynomials. It is proven that the corresponding Jacobi matrix and its transpose, which are nonnegative matrices and describe higher recurrence relations, can be normalized to two stochastic matrices, dual to each other. Using the Christoffel-Darboux formula on the step-line and the Poincaré theory for non-homogeneous recurrence relations it is proven that both stochastic matrices are related by transposition in the large $n$ limit. These random walks are beyond birth and death, as they describe a chain in where transitions to the two previous states are allowed, or in the dual to the two next states.The corresponding Karlin-McGregor representation formula is given for these new Markov chains. The regions of hypergeometric parameters where the Markov chains are recurrent or transient are given. Stochastic factorizations, in terms of pure birth and of pure death factors, for the corresponding Markov matrices of types I and II, are provided.Twelve uniform Jacobi matrices and the corresponding random walks, related to a Jacobi matrix of Toeplitz type, and theirs stochastic or semi-stochastic matrices (with sinks and sources), that describe Markov chains beyond birth and death, are found and studied. One of these uniform stochastic cases, which is a recurrent random walk, is the only hypergeometric multiple random walk having a uniform stochastic factorization. The corresponding weights, Jacobi and Markov transition matrices and sequences of type II multiple orthogonal polynomials are provided. Chain of Christoffel transformations connecting the stochastic uniform tuples between them, and the semi-stochastic uniform tuples, between them, are presented.

研究の動機と目的

• タイプ I およびタイプ II の定式化を用いた、多重直交多項式の体系的構成法の開発。
• 多項式列とその双対線形形式の間の二重直交性関係の確立。
• 完全なガウス–ボレル分解を介して、多重インデックスおよびベクトル多重インデックスへの直交多項式理論の一般化。
• 直交性条件を通じて、多重直交多項式とランダムウォークモデルとの関係の探索。
• 2重量系における ν = (m+1,m) および ν = (m+1,m+1) でインデックス付けされた多重直交多項式の定義と構造の分析。

提案手法

• ガウス–ボレル分解から得られる行列 S を用いて、タイプ II の多重直交多項式 B(m) = x^m + ∑_{i=0}^{m-1} S_{m,i}x^i を構成する。
• 双対行列 ~S および正規化定数 H_k を用いて、タイプ I の多重直交多項式 A(2m)_1, A(2m+1)_1, A(2m)_2, A(2m+1)_2 を定義する。
• 双対性のために、線形形式 Q(m) = w₁A(m)_1 + w₂A(m)_2 を導入する。
• ベクトル多重インデックス ν(2m) = (m+1,m) および ν(2m+1) = (m+1,m+1) を用いて、B(ν), A(ν)_1, および A(ν)_2 を、特定の次数制約のもとで定義する。
• タイプ I の直交性を確立：deg ≤ ν₁−1, ν₂−1 および j ≤ |ν|−2 のとき、∫Δ x^j (A→ν,1 w₁ + A→ν,2 w₂) dμ = 0 が成り立つ。
• タイプ II の直交性を確立：deg B→ν ≤ |ν| および j = 0,…,ν_a−1 (a=1,2) のとき、∫Δ B→ν(x) w_a(x) x^j dμ = 0 が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてガウス–ボレル分解枠組みから、多重直交多項式を体系的に構成できるか？
• RQ2 タイプ I およびタイプ II の多重直交多項式が満たす正確な直交性条件は何か？
• RQ3 線形形式 Q(m) は、二重直交系における多項式列 B(m) とどのように関係しているか？
• RQ4 多重インデックス ν(2m) = (m+1,m) および ν(2m+1) = (m+1,m+1) は、直交多項式のインデックス付けにおいて果たす役割は何か？
• RQ5 二重直交性関係 ∫Δ B(m)(x)Q(k)(x)dμ(x) = δm,k が成立するための条件は何か？

主な発見

• タイプ II の多重直交多項式 B(m) は、ガウス–ボレル分解から得られる行列 S を用いて、B(m) = x^m + ∑_{i=0}^{m-1} S_{m,i}x^i として明示的に構成される。
• タイプ I の多重直交多項式 A(2m)_1, A(2m+1)_1, A(2m)_2, A(2m+1)_2 は、双対行列 ~S および正規化定数 H_k を用いて定義される。
• 線形形式 Q(m) = w₁A(m)_1 + w₂A(m)_2 は、二重直交性条件 ∫Δ B(m)(x)Q(k)(x)dμ(x) = δm,k を満たすことが示された。
• タイプ I の直交性は、j = 0,…,|ν|−2 の範囲で成り立ち、deg A→ν,1 ≤ ν₁−1 および deg A→ν,2 ≤ ν₂−1 が成り立つ。
• タイプ II の直交性は、j = 0,…,ν_a−1 (a=1,2) の範囲で成り立ち、deg B→ν ≤ |ν| が成り立つ。
• 重み系 (w₁,w₂,dμ) の完全なガウス–ボレル分解の仮定のもと、システムは完全に一貫している。