[論文レビュー] Hyperspherical Functions and Linear Representations of the Lorentz Group

В. В. Варламов|arXiv (Cornell University)|May 9, 2002

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$SL(2,\mathbb{C})$ を $SU(2)$ の複素化とみなすことにより、超球関数とローレンツ群の有限次元表現との間の関係を確立する。$SL(2,\mathbb{C})$ 表現の行列要素を用いて超球関数の再帰的関係を導出し、それらが超幾何関数の積として等価であり、$(j,0)\oplus(0,j)$ 表現空間における物理的場と関連していることを示す。

ABSTRACT

A double covering of the proper orthochronous Lorentz group is understood as a complexification of the special unimodular group of second order (a double covering of the 3-dimensional rotation group). In virtue of such an interpretation the matrix elements of finite-dimensional representations of the Lorentz group are studied in terms of hyperspherical functions. Different forms of the hyperspherical functions related to other special functions (hypergeometric series, generalized spherical functions, Jacobi functions, Appell functions) are considered. It is shown that there is a close relationship between hyperspherical functions and physical fields defined within $(j,0)\oplus(0,j)$ representation spaces. Recurrence relations between hyperspherical functions are given.

研究の動機と目的

• 超球関数とローレンツ群の有限次元表現を系統立てて結びつけるフレームワークを確立すること。
• SL(2,$\mathbb{C}$) が $SU(2)$ の複素化として果たす役割が、これらの関数の構成にどのように寄与するかを調査すること。
• $l$ の変化が $\frac{1}{2}$ である場合の超球関数の再帰的関係を導出し、代数的操作を可能にする。
• 超球関数を $(j,0)\oplus(0,j)$ 表現空間における物理的場と結びつけること、特にスピンルール場の文脈で。
• 超幾何級数、アペル関数、ヤコビ関数などの特殊関数を用いて超球関数を表現すること。

提案手法

• ローレンツ群のヴァン・ダール・ヴァルデン表現を用い、$SL(2,\mathbb{C})$ が正規直交ローレンツ群の二重被覆であることを特定する。
• Eulerパarametrizationを適用して、$SL(2,\mathbb{C})$ 表現の行列要素を超球関数として表現する。
• $l=\frac{1}{2}$ と一般の $l$ の既約表現のテンソル積を分解し、クリーブシュ＝ゴルダン係数を用いて、再帰的関係を導出する。
• 変換恒等式を用いて、超球関数を超幾何関数の積として表現し、アペル関数およびヤコビ関数と関連付ける。
• $SL(2,\mathbb{C})$ の複素構造を用いて、$SU(2)$ からの一般化された球関数をローレンツ群へ一般化する。
• $3j$-記号から導かれる行列要素 $\bar{b}^{m}_{ik}$ を用いて、$l$ および $m$ が異なる $\mathfrak{M}^{l}_{jm}$ 関数間の再帰的関係を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超球関数は、ローレンツ群の有限次元表現の行列要素として、どのように系統立てて導出可能か？
• RQ2 超球関数と超幾何級数、アペル関数、ヤコビ関数などの特殊関数との関係は何か？
• RQ3 超球関数の再帰的関係は、$SL(2,\mathbb{C})$ 表現のテンソル積の分解からどのように生じるか？
• RQ4 超球関数は、$(j,0)\oplus(0,j)$ 表現空間における物理的場とどのように対応するか？
• RQ5 $SU(2)$ の複素化である $SL(2,\mathbb{C})$ は、ローレンツ群への球関数の一般化をどのように可能にするか？

主な発見

• 超球関数が、超幾何関数の積として表現可能なローレンツ群の有限次元表現の行列要素であることが示された。
• $l=\frac{1}{2}$ と一般の $l$ の表現のテンソル積の分解により、$\mathfrak{M}^{l}_{jm}$ の再帰的関係が導出され、$\mathfrak{M}^{l+\frac{1}{2}}_{jm}$、$\mathfrak{M}^{l-\frac{1}{2}}_{jm}$ および位相因子を含む4つの異なる関係が得られた。
• $\mathfrak{M}^{l}_{jm}$ は、$\cos\frac{\theta}{2}\cosh\frac{\tau}{2}$、$\sin\frac{\theta}{2}\sinh\frac{\tau}{2}$、および $\epsilon, \varphi, \psi$ に関する複素指数関数を係数に持つ再帰的関係を満たす。
• 再帰的関係は、$3j$-記号から導かれる $\bar{b}^{m}_{ik}$ 行列を用いて表現され、その成分は $\frac{l_2 - m + \frac{1}{2}}{2l_2 + 1}$ および $\frac{l_2 + m + \frac{1}{2}}{2l_2 + 1}$ である。
• 超球関数は、$SL(2,\mathbb{C})$ パarametrization とスピンルール構造を介して、$(j,0)\oplus(0,j)$ 表現空間における物理的場と関連している。
• 本稿では、超球関数が $SU(2)$ の一般化された球関数の複素化であることが確立され、ゲルファンドとシャピロの研究をローレンツ群へ拡張した。