[論文レビュー] I-convergence classes of sequences and nets in topological spaces

Amar Kumar Banerjee, Apurba Banerjee|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2016

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、位相空間における列およびネットのI収束類を導入し、特定の公理を満たすような類が一意な位相を生成することを証明している。主な貢献は、I収束類と位相の間の一対一対応を確立し、生成された位相に関してI収束が元のI収束類と一致することを示したことである。

ABSTRACT

In this paper we have used the idea of I-convergence of sequences and nets to study certain conditions of convergence in a topological space. It has been shown separately that a class of sequences and a class of nets in a non-empty set X which are respectively called I-convergence class of sequences and I-convergence class of nets satisfying these conditions generate a topology on X. Further we have correlated the classes of I-convergent sequences and nets with respect to these topologies with the given classes which satisfy these conditions.

研究の動機と目的

• 集合XにおけるI収束列またはネットの類が位相を生成できる条件を特徴づけること。
• 位相の生成に必要な十分条件をI収束類に課す条件を確立すること。
• 元のI収束類と、生成された位相に関してのI収束との関係を特定すること。
• 有向集合上の理想を用いて、モア・スミスの収束理論をI収束に拡張すること。
• 生成された位相に関してのI収束が、元のI収束類と一致することを証明すること。

提案手法

• 自然数集合Nおよび有向集合Dにおける理想Iを用いて、位相空間における列およびネットのI収束を定義する。
• ネットのI収束に基づき、Xの部分集合に対して作用する閉包作用素'cl'を導入し、位相における閉包を模倣する。
• 閉包作用素'cl'がカラトウスキの閉包公理を満たすことを確認する：(1) ∅^{cl} = ∅、(2) A ⊆ A^{cl}、(3) (A ∪ B)^{cl} = A^{cl} ∪ B^{cl}、(4) (A^{cl})^{cl} = A^{cl}。
• X∖U が作用素'cl'に関して閉じているような集合Uを開集合と定義し、Xに位相τを定義する。
• ネットが（類の中で）x₀にI収束するための必要十分条件が、τに関してx₀にI収束することであることを証明する。
• 収束類の公理(a)–(d)（モア・スミスの収束に類似）を用いて、位相が適切に定義されかつ一貫性を保つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合XにおけるI収束列またはネットの類が一意な位相を生成できる条件は何か？
• RQ2 I収束列およびネットの類が、それによって生成される位相に関してのI収束とどのように関係するか？
• RQ3 収束類の公理(a)–(d)をI収束に適合させることで、位相の生成を保証できるか？
• RQ4 生成された位相に関してのI収束が、元のI収束類と等価であるか？
• RQ5 適切な理想およびフィルターは、I収束と位相生成の整合性を保つために果たす役割は何か？

主な発見

• 公理(a)–(d)を満たす非空集合XにおけるI収束列の類は、Xに一意な位相τを生成する。
• 同様に、I収束ネットの類に対しても同様の結果が成り立ち、閉包作用素'cl'はカラトウスキの公理を満たす。
• 位相τはI収束類によって一意に定まり、類に属するすべてのI収束ネットは、τに関してI収束する。
• 逆に、τに関してI収束するすべてのネットは、元の類に属するI収束ネットであることが示され、一対一対応が確立される。
• ネットのI収束に基づき定義された閉包作用素'cl'は、(A ∪ B)^{cl} = A^{cl} ∪ B^{cl} および (A^{cl})^{cl} = A^{cl} を満たし、位相的整合性が確認される。
• 証明は、理想、フィルター、およびモア・スミスの収束公理の相互作用に依拠しており、τに関してのI収束が元の類と一致することを示している。