[論文レビュー] Ideal structure of $C^*$-algebras associated with $C^*$-correspondences

Takeshi Katsura|ArXiv.org|Sep 18, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、$C^*$-代数の$C^*$-対応から得られるゲージ不変なイデアルの完全な分類を、不変イデアルと余分なデータを一般化する$O$-ペアと呼ばれる、基本$C^*$-代数内のイデアルのペアを導入することによって確立する。ゲージ不変なイデアルは$O$-ペアと一対一対応しており、これは交叉積理論を一般化し、相対的Cuntz-Pimsner代数の普遍的特徴付けをゲージ不変な一意性定理によって与える。

ABSTRACT

We study the ideal structure of $C^*$-algebras arising from $C^*$-correspondences. We prove that gauge-invariant ideals of our $C^*$-algebras are parameterized by certain pairs of ideals of original $C^*$-algebras. We show that our $C^*$-algebras have a nice property which should be possessed by generalization of crossed products. Applications to crossed products by Hilbert $C^*$-bimodules and relative Cuntz-Pimsner algebras are also discussed.

研究の動機と目的

• $C^*$-対応$X$に関連する$C^*$-代数$\mathcal{O}_X$のイデアル構造を記述すること。
• 自己同型による交叉積理論を$C^*$-対応の設定に一般化すること。
• 新しいクラスのイデアルペアである$O$-ペアを用いて、$\mathcal{O}_X$におけるゲージ不変なイデアルの完全なパrameter化を提供すること。
• 相対的Cuntz-Pimsner代数$\mathcal{O}(J,X)$に対してゲージ不変な一意性定理を確立すること。

提案手法

• $O$-ペアを、基本$C^*$-代数$A$内のイデアルのペア$(J_{-\infty}, J)$として導入する。ここで$J_{-\infty}$は左作用に関して不変であり、$J$は余分なイデアルである。
• $X$の共変表現による普遍的$C^*$-代数$\mathcal{O}_X$を定義し、Cuntz-Pimsner代数を一般化する。
• $T$-ペア$\omega$から$C^*$-対応$X_\omega$を構成し、その普遍性を証明することで、$\mathcal{O}_X$の二通りの定義の同値性を示す。
• $\mathcal{O}_X$上の$\mathbb{T}$のゲージ作用を用いて、ゲージ不変なイデアルを定義し、それらを$O$-ペアに関連付ける。
• ヒルベルト$C^*$-バイモジュールおよび相対的Cuntz-Pimsner代数に理論を適用し、ゲージ不変なイデアルによる商が同じクラスに属することを示す。
• $\mathcal{O}_X$内のすべてのゲージ不変なイデアルが、適切な$C^*$-対応$Z$から得られる$C^*$-部分代数として、遺伝的かつ全射な$C^*$-部分代数を含むことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲージ不変なイデアル$\mathcal{O}_X$は、基本$C^*$-代数$A$および$C^*$-対応$X$の観点から、どのように完全に分類できるか？
• RQ2 $C^*$-対応の文脈において、自己同型による交叉積の正しい一般化は何か？
• RQ3 相対的Cuntz-Pimsner代数$\mathcal{O}(J,X)$と普遍的$C^*$-代数$\mathcal{O}_X$の関係は何か？
• RQ4 どの条件下で$X$の表現が$\mathcal{O}(J,X)$への同型写像を誘導するか？
• RQ5 $\mathcal{O}(J,X)$のイデアル構造は、普遍的性質を用いて完全に記述可能か？

主な発見

• $\mathcal{O}_X$のゲージ不変なイデアルは、不変イデアル$J_{-\infty}$と$A$の余分なイデアル$J$からなる$O$-ペア$(J_{-\infty}, J)$と一対一対応する。
• $\mathcal{O}_X$が相対的Cuntz-Pimsner代数$\mathcal{O}(J,X)$に同型であるための必要十分条件は、$J_{-\infty} = 0$かつ$J \cap \ker \varphi_X = 0$である。
• $\mathcal{O}_X$のゲージ不変なイデアルによる商は、ある$C^*$-対応$Y$に対して$\mathcal{O}_Y$に同型であることが示され、クラスが商に関して閉じていることがわかる。
• $\mathcal{O}_X$内のすべてのゲージ不変なイデアルは、適切な$C^*$-対応$Z$から得られる$\mathcal{O}_Z$に同型な遺伝的かつ全射な$C^*$-部分代数を含む。
• 相対的Cuntz-Pimsner代数$\mathcal{O}(J,X)$に対するゲージ不変な一意性定理は、$\mathcal{O}(J,X)$から$C^*(\pi', t')$への全射が同型であるための必要十分条件が、$\pi'$がゲージ作用をもつこと、$\ker \pi' = J_{-\infty}$であること、および$\{a \in A \mid \pi'(a) \in \psi_{t'}(\mathcal{K}(X))\} = J$であることであると述べる。
• $\pi: A \to \mathcal{O}(J,X)$が単射であるための必要十分条件は、$J \cap \ker \varphi_X = 0$であることであり、これは$J_{-\infty} = 0$と同値である。