[論文レビュー] Ideas and Results in Model Theory: Reference, Realism, Structure and Categoricity

Tim Button, Sean Walsh|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2015

Philosophy and Theoretical Science参考文献 130被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、数学における参照、実在論、構造主義の哲学的意義に焦点を当て、モデル理論を概説する。カテゴリー的定理、L"owenheim-Skolemの定理、および2階論理の議論といった主要な結果を検討し、数学的真実および存在論に関する基礎的論争におけるそれらの役割を明確にする。

ABSTRACT

The topics of reference, realism, and structure have been discussed extensively in the philosophy of mathematics of the last decades. There have been some parallel discussions in certain parts of philosophy of science and metaphysics. The technical apparatus which serves as the formal backdrop to these discussions is model theory, a branch of mathematical logic, and the key results in model theory which have been thought to be of primary philosophical significance are the famous categoricity theorems of Dedekind and Zermelo. The aim of this paper is to survey this recent literature, using basic ideas and results from model theory to aid in organizing the discussion. Some of the specific topics covered are: Putnam's permutation argument and the just more theory manoeuvre; the Newman objection and notions of conservation; the import of the L\owenheim-Skolem theorems; the invocation of second-order logic in debates about realism and reference; the distinctive challenges posed by quasi-categoricity results in set theory, the structuralism of Shapiro and Parsons, and the aims and goals of recent work on uncountable categoricity.

研究の動機と目的

• モデル理論的結果の哲学的含意が、数学的参照および実在論に関する論争にどのように寄与するかを明確化すること。
• カテゴリー的定理（デデキンド、ツェルメロ）の基礎的意義を、数学的構造の理解に役立てる。
• プットンの置換反論およびニューマンの反論といった課題を、構造主義と保存則の文脈で検討すること。
• 2階論理と非可算的カテゴリー的定理が、数学的実在論および存在的コミットメントに関する議論に果たす役割を評価すること。
• 集合論における非可算的カテゴリー的定理および準カテゴリー的定理に関する最近の研究の目的と概念的目標をマッピングすること。

提案手法

• 哲学的分析の形式的枠組みとして、構造、満たし、および素朴同値といった基本的なモデル理論的概念を使用する。
• L"owenheim-Skolemの定理を応用して、1階論理がカテゴリー的数学的理論を捉える際に抱える制限を検討する。
• モデル理論的不変性と「ただの理論の追加」という操作の観点から、プットンの置換反論を分析する。
• ニューマンの反論を検討し、関係的パターンから構造を再構成できる条件を検証する。
• 2階論理がカテゴリー的定理を確立する能力と、数学的対象に関する実在論に与える影響を検討する。
• 集合論における準カテゴリー的定理の結果を調査し、数学的理論の構造的解釈の妥当性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モデル理論におけるカテゴリー的定理は、数学的実在論を支持するか、あるいはそれに挑戦するか。
• RQ2 L"owenheim-Skolemの定理は、数学的理論における参照の概念にどのような哲学的意義を持つのか。
• RQ3 プットンの置換反論と「ただの理論の追加」という操作は、数学的対象の構造的解釈をどのように破壊するか、あるいは再構築するか。
• RQ4 2階論理と非可算的カテゴリー的定理は、存在的コミットメントおよび実在論に関する議論にどのような形で貢献するか。
• RQ5 集合論における準カテゴリー的定理の結果は、構造的解釈および実在論的解釈の両者に対してどのような課題を提示するか。

主な発見

• デデキンドとツェルメロのカテゴリー的定理は、特定の数学的構造が同型を除いて一意に決定されることを強く形式的に支持する。
• L"owenheim-Skolemの定理は、1階論理がカテゴリー的数学的理論を捉える際に抱える根本的な制限を明らかにし、一意的な参照に基づく実在論的見解を揺るがす。
• プットンの置換反論は、1階論理的理論が参照を一意に固定できないことを示し、実在論の擁護として「ただの理論の追加」という反論が生じることを示している。
• ニューマンの反論は、任意の関係の集合が構造として再構成可能であることを示し、構造そのものが存在的コミットメントを決定するという考えを揺るがす。
• 2階論理は、より強い理論においてカテゴリー的定理を達成可能にし、主要な数学的理論に対して一意なモデルを保証することで、実在論への形式的道筋を提供する。
• 集合論における準カテゴリー的定理の結果は、完全なカテゴリー的定理が成立しないものの、構造的特徴がモデルを関係のある形で制約することを示唆しており、構造主義的および実在論的解釈にとって関係ある。