[論文レビュー] Identification of Dominant Subspaces for Linear Structured Parametric Systems and Model Reduction

Peter Benner, Pawan Goyal+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、複素周波数平面およびパラメータ空間における補間に基づく手法を用いて、支配的可達部分空間および可観測部分空間を同定することにより、線形構造的パrametricシステムのための新しいモデル順序低減（MOR）フレームワークを提案する。十分な数の補間点を用いる場合、補間から得られる射影行列がこれらの部分空間を符号化することを示し、制御可能で可観測性の高いダイナミクスを保持する低次元モデルを構築する。従来手法と比較して顕著に低い次元で高い精度を達成しており、80次元（210次元）のガイロスコープモデルを含む大規模ベンチマークで実証された。

ABSTRACT

In this paper, we discuss a novel model reduction framework for generalized linear systems. The transfer functions of these systems are assumed to have a special structure, e.g., coming from second-order linear systems and time-delay systems, and they may also have parameter dependencies. Firstly, we investigate the connection between classic interpolation-based model reduction methods with the reachability and observability subspaces of linear structured parametric systems. We show that if enough interpolation points are taken, the projection matrices of interpolation-based model reduction encode these subspaces. As a result, we are able to identify the dominant reachable and observable subspaces of the underlying system. Based on this, we propose a new model reduction algorithm combining these features leading to reduced-order systems. Furthermore, we pay special attention to computational aspects of the approach and discuss its applicability to a large-scale setting. We illustrate the efficiency of the proposed approach with several numerical large-scale benchmark examples.

研究の動機と目的

• 補間に基づくモデル順序低減と構造的パラメトリックシステムの可達性／可観測性部分空間との間の関係を確立すること。
• 線形構造的パラメトリックシステムの支配的可達および可観測部分空間を同定する手法を開発すること。
• これらの支配的部分空間を保持する低次元モデルを構築し、システムの挙動を高精度に近似すること。
• 計算効率を確保するとともに、特にパrameter依存性を有する大規模システムへの適用可能性を確保すること。
• 定量的なモデル順序低減を示す数値ベンチマークを通じて、既存手法に対する本手法の優位性を実証すること。

提案手法

• 複素周波数平面およびパラメータ空間における補間点の集合を用いて、補間に基づくMORにより低次元モデルを構築する。
• 十分な数の補間点が選択された場合、補間から得られる射影行列がシステムの支配的可達および可観測部分空間を符号化することを示す。
• 補間から導出される射影行列の特異値を分析することにより、支配的部分空間を同定するための新規アルゴリズム（アルゴリズム4.1）を導入する。
• 同定された支配的部分空間を用いてPetrov-Galerkin射影を適用し、システム構造を保存する低次元モデルを構築する。
• 周波数点を対数スケールで配置し、パラメータ空間にランダムサンプルを組み合わせることで、システムの動的およびパrametric特性を網羅的にカバーする。
• 特異値の減衰解析を用いて低次元を決定し、指定された許容誤差（例：10⁻¹⁵）で切断することで、精度と複雑さのバランスを図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 補間に基づくモデル順序低減手法は、構造的パラメトリックシステムにおける可達性および可観測性部分空間とどのように関係するか？
• RQ2 グラミアン方程式を解かずに、補間データから支配的可達および可観測部分空間を信頼性高く同定できるか？
• RQ3 同時に最も可達性および可観測性の高い状態を保持する低次元モデルを構築でき、より低い次元でより高い精度を得られるか？
• RQ4 本手法は、大規模パラメトリックシステムに対して、既存のMOR技術と比較して精度および効率で優れているか？
• RQ5 本手法は、複雑なパラメトリック依存性と高次元性を有する実世界の工学的システムに対しても効果的に適用可能か？

主な発見

• 十分な数の補間点が使用された場合、補間に基づくMORから得られる射影行列が支配的可達および可観測部分空間を符号化する。これにより、グラミアン方程式を解かずに部分空間を同定可能である。
• 本手法は、大規模なガイロスコープモデル（n=17,913）に対して80次元の低次元モデルを構築し、類似の精度を達成するための従来手法（210次元）を上回った。
• ボード線図の比較により、4つの異なるパラメータ設定において、低次元モデルが元のシステムと頻繁に一致しており、関心領域の周波数範囲で無視できる誤差しか生じないことが示された。
• 特異値の減衰解析により、支配的部分空間の急速な減衰が確認され、10⁻¹⁵で切断することでコンactな低次元モデルが得られることを裏付けた。
• 本手法は計算的に効率的かつスケーラブルであり、グラミアン計算に依存しない補間および特異値解析に基づくため、大規模システムに適している。
• 本手法は、2次系、時間遅れ、分数階微分系など複雑な構造を有するシステム、ならびにパラメトリック依存性を有するシステムに対しても構造を保存するMORを可能にする。