[論文レビュー] Identification of Fractional-Order Dynamical Systems

Ľ. Dorčák, V. Lesko+1 more|ArXiv.org|Apr 15, 2002

Advanced Control Systems Design参考文献 1被引用数 29

ひとこと要約

本稿では、分数階微分の数値近似と伝達関数の微分技術を組み合わせることで、分数階動的システムを同定する新規手法を提案する。測定された入出力データを用いて、同時にシステムパラメータと微分階数を推定可能であり、シミュレーションおよび実世界のシステム（ラボ用加熱炉を含む）において高い精度を達成している。

ABSTRACT

This contribution deals with identification of fractional-order dynamical systems. We consider systems whose mathematical description is a three-member differential equation in which the orders of derivatives can be real numbers. We give a discretization method and a numerical solution of differential equations of this type. An experimental method of identification is given which is based on evaluation of transfer characteristics. This is a combination of the method of derivatives of transfer characteristics and of the method of passive search. The verification was performed on systems with known parameters and also on a laboratory object.

研究の動機と目的

• 微分階数が整数に制限されない実数である分数階動的システムを信頼性高く同定する手法を開発すること。
• 実システムの真の分数階動的特性を無視する従来の整数階モデルの限界を解消すること。
• 実験的入出力データからシステムパラメータと微分階数（α, β）を正確に同定できること。
• 既知のパラメータを有するシステムおよび実際のラボ機器に対して本手法を検証し、整数階近似よりも優れた忠実性を示すこと。

提案手法

• 3パラメータの分数階微分方程式モデルを用いる：$ a_2 y^{(\alpha)}(t) + a_1 y^{(\beta)}(t) + a_0 y(t) = u(t) $、ここでαとβは実数である。
• Grünwald-Letnikovの公式を用いた分数階微分の数値近似を適用する：$ y^{(\alpha)}(t) \approx h^{-\alpha} \sum_{j=0}^{N(t)} b_j y(t-jh) $、二項係数$ b_j = (-1)^j \binom{\alpha}{j} $を用いる。
• 離散時刻値と時間刻み$ h $を用いた数値解法の明示的再帰式（式5）を導出する。
• モデル予測と測定データの差を最小化するための最小二乗誤差基準（式6）を採用する。
• 勾配条件$ \partial E/\partial \bar{a} = 0 $から導かれる3本の一次方程式系（式8）を、和で近似された離散積分を用いて解く。
• 誤差関数を指定された区間内で最小化することで、推定された階数αとβを改善するためのバイセクションに基づく反復手順（式10–11）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 システムパラメータと微分階数の両方が未知である場合、分数階システムを正確に同定できるか？
• RQ2 実動的システムにおいて、本手法は古典的な整数階モデルと比較して忠実性と精度で優れているか？
• RQ3 測定精度と時間刻みの影響は、分数階システムの同定性能にどのように及ぶか？
• RQ4 真の階数が事前に不明であっても、実験データから非整数微分階数（α, β）を信頼性高く推定できるか？

主な発見

• α=2、β=1の整数階システムに対して、本手法は$ a_2=1.0001 $、$ a_1=2.99987 $、$ a_0=1.99998 $を回復し、α=1.99993、β=0.99996を推定した。真の値と非常に良好に一致した。
• α=2.2、β=0.9の分数階システムに対して、本手法は$ a_2=0.80005 $、$ a_1=0.49996 $、$ a_0=0.99998 $を推定し、α=2.19996、β=0.89989を得た。真のパラメータに近い結果となった。
• 同じ分数階システムを2次整数モデルで近似した場合、本手法は$ a_2=0.76639 $、$ a_1=0.23184 $、$ a_0=1 $を導出し、応答が著しく異なることが明らかになった。これはモデルの不適切さを示している。
• 実際の加熱炉に対して、本手法は$ a_2=-14994.3 $、$ a_1=6009.52 $、$ a_0=1.69 $、α=1.31、β=0.97の分数階モデルを同定し、基準値$ 2.7 \times 10^{-4} $を達成した。これは整数階近似の$ 1.02 \times 10^{-3} $よりも顕著に優れていた。
• 本手法は、$ a_1=788.35 $、$ a_0=1.39 $、β=0.73の2パラメータモデルを同定し、基準値$ 6.3 \times 10^{-4} $を達成した。これは整数階適合よりも優れており、ロバストネスを示した。