[論文レビュー] Identities in plactic, hypoplactic, sylvester, Baxter, and related monoids

Alan J. Cain, António Malheiro|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、『プラクティックに似た』モノイド（ハイポプラクティック、シルベスター、バクサー、スタラティック、タイガ、および関連するモノイド）における非自明な恒等式を、組合せ的挿入アルゴリズムと木構造表現を用いて調査する。すべてのこれらのモノイドが非自明な恒等式を満たすことを証明し、それらの最短の恒等式を特定し、プラクティックモノイドおよびパティエンス・ソーティングモノイドの状態を解明する。プラクティックモノイドはいかなる非自明な恒等式も満たさないことが示され、左および右のパティエンス・ソーティングモノイドについても、ランク1の場合の自明な可換性を除き、いかなる非自明な恒等式も満たさないことが判明する。

ABSTRACT

This paper considers whether non-trivial identities are satisfied by certain `plactic-like' monoids that, like the plactic monoid, are closely connected to combinatorics. New results show that the hypoplactic, sylvester, Baxter, stalactic, and taiga monoids satisfy identities, and indeed give shortest identities satisfied by these monoids. The existing state of knowledge is discussed for the plactic monoid and left and right patience sorting monoids.

研究の動機と目的

• さまざまな『プラクティックに似た』モノイドが非自明な恒等式を満たすかどうかを特定すること。
• これらのモノイドが満たす最短の非自明な恒等式を特定すること。
• プラクティックモノイドおよび左/右パティエンス・ソーティングモノイドに関する既存の知識の状態を明確化すること。
• 有限生成モノイドにおける多項式成長と恒等式満たしの間の関係を調査すること。

提案手法

• スヘンステッドや二分探索木挿入などの挿入アルゴリズムを用いて、ヤング盤や二分探索木といった組合せ的対象によってモノイドを定義する。
• 左および右の二分木のペアを用いて語を表現し、モノイドの恒等式を分析する。
• ホモモーティズムを適用して、バクサー・モノイドにおける恒等式を、そのホモモーティック・イメージ（シルベスターおよび#シルベスター・モノイド）における恒等式に関連付ける。
• シルベスターおよび#シルベスター・モノイドの左/右キャンセル性を用いて、可能な恒等式を制約する。
• 関連するモノイドにおける既知の恒等式（例：中国語モノイドにおけるアディアンの恒等式）を比較の基準として用いる。
• 語の長さおよび記号の位置をもとにケース解析を行い、候補となる恒等式を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイポプラクティック、シルベスター、バクサー、スタラティック、タイガ・モノイドは、非自明な恒等式を満たすか？
• RQ2 これらのモノイドのそれぞれが満たす最短の非自明な恒等式は何か？
• RQ3 プラクティック・モノイドは非自明な恒等式を満たすか？
• RQ4 左および右のパティエンス・ソーティング・モノイドは非自明な恒等式を満たすか？
• RQ5 ランク4以上の有限ランクプラクティック・モノイド placn（n ≥ 4）は非自明な恒等式を満たすか？

主な発見

• ハイポプラクティック・モノイドは恒等式 xyxy = yxyx を満たし、これはその最短の非自明な恒等式である。
• シルベスター・モノイドは恒等式 xyxy = yxxy を満たし、これはその最短の非自明な恒等式である。
• #シルベスター・モノイドは恒等式 yxyx = yxxy を満たし、これはその最短の非自明な恒等式である。
• バクサー・モノイドは恒等式 yxxyxy = yxyxxy を満たし、これはその最短の非自明な恒等式である。
• スタラティックおよびタイガ・モノイドの両方とも恒等式 xyx = yxx を満たし、これはそれぞれの最短の非自明な恒等式である。
• プラクティック・モノイドおよび左・右のパティエンス・ソーティング・モノイドは、いかなる非自明な恒等式も満たさない。