[論文レビュー] Identities involving q-Genocchi numbers and polynomials

Serkan Aracı, Mehmet Açıkgöz+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2012

Advanced Mathematical Identities参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{Z}_p$ 上のフェルミオン的 $p$-進 $q$-積分を用いて、$q$-Genocchi 数および多項式の新しい恒等式と性質を導入する。Mellin 変換を用いて、Cauchy 積分公式、分布公式、および新しい $q$-ゼータ型関数を導出し、$q$-Genocchi 多項式を負の整数で補間する。これにより、古典的 Genocchi 数論が $q$-枠組みへと拡張され、$p$-進解析および特殊関数への応用が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we focus on the q-Genocchi numbers and polynomials. We shall introduce new identities of the q-Genocchi numbers and polynomials by using the fermionic p-adic integral on Zp which are very important in the study of Frobenius-Genocchi numbers and polynomials. Also, we give Cauchy-integral formula for the q-Genocchi polynomials and moreover by using measure theory on p-adic integral we derive the distribution formula q-Genocchi polynomials. Finally, we present a new definition of q-Zeta-type function by using Mellin transformation which is the interpolation function of the q-Genocchi polynomials at negative integers.

研究の動機と目的

• フェルミオン的 $p$-進 $q$-積分を用いて、$\mathbb{Z}_p$ 上の $q$-Genocchi 数および多項式の新しい明示的恒等式を導出すること。
• 複素解析的表現を可能にする、$q$-Genocchi 多項式の Cauchy 積分公式を確立すること。
• $p$-進測度論的分解を用いて、$q$-Genocchi 多項式の分布公式を構築すること。
• Mellin 変換を用いて、$q$-Genocchi 多項式を負の整数で補間する新しい $q$-ゼータ型関数を定義すること。
• 古典的 Genocchi 数論を $q$-変形設定へと一般化し、解析的数論への応用を示すこと。

提案手法

• 生成関数を用いて、$\mathbb{Z}_p$ 上のフェルミオン的 $p$-進 $q$-積分を用いて $q$-Genocchi 多項式および数を定義する。
• Riemann型和の極限過程を用いて、$p$-進 $q$-積分を $p$-進測度 $\mu_{-q}$ として定義する。
• $\mathbb{Z}_p$ 上の積分を $d$-進成分に分割することで分布公式を導出し、$G_{n,q}(dx)$ と $G_{n,q}(x + a/d)$ を含む関係を得る。
• 生成関数 $\mathcal{F}_q(x,t) = \frac{2t}{qe^t + 1}e^{xt}$ にMellin変換を適用し、$q$-ゼータ型関数を定義する。
• 生成関数の $k$-階微分を用いて、$G_{k,q}(x)$ を極限過程で定義し、Cauchy 積分表現を導出する。
• 生成関数の級数展開における係数を比較することで、$G_{m+1,q}(x)/(m+1)$ と $n^m$ を含む $q$-級数との関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェルミオン的 $p$-進 $q$-積分を用いて、$\mathbb{Z}_p$ 上の $q$-Genocchi 数および多項式の新しい恒等式をどのように導出できるか？
• RQ2 $q$-Genocchi 多項式の Cauchy 積分公式は何か？ また、その生成関数との関係は？
• RQ3 $p$-進測度分解下での $q$-Genocchi 多項式の分布公式は何か？
• RQ4 生成関数 $\mathcal{F}_q(x,t)$ のMellin変換を用いて、$q$-ゼータ型関数をどのように構成できるか？
• RQ5 $q$-ゼータ型関数と負の整数における $q$-Genocchi 多項式との関数的関係は何か？

主な発見

• Cauchy 積分公式は、$C$ が原点を一回正向きに回る閉曲線であるとして、$G_{n,q}(x) = \frac{n!}{2\pi i} \int_C \mathcal{F}_q(x,t) \frac{dt}{t^{n+1}}$ として確立される。
• 分布公式は、$G_{n,q}(dx) = d^{n-1} \sum_{a=0}^{d-1} (-1)^a q^a G_{n,q}\left(x + \frac{a}{d}\right)$ として導出され、$n \in \mathbb{N}^*$ に対して有効である。
• $q$-ゼータ型関数は $\zeta(s,x:q) = 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n q^n}{n^s}$ として定義され、$q$-Genocchi 多項式を負の整数で補間する。
• $\zeta(-n,x:q) = \frac{G_{n+1,q}(x)}{n+1}$ が示され、$q$-ゼータ関数と $q$-Genocchi 多項式との直接的な関連が確立される。
• 生成関数 $\mathcal{F}_q(x,t) = \frac{2t}{qe^t + 1}e^{xt}$ を用いて、$G_{k,q}(x) = \lim_{t \to 0} \frac{d^k}{dt^k} \left( \frac{2t}{qe^t + 1}e^{xt} \right)$ が得られ、微分的特徴付けが与えられる。
• 級数恒等式 $\frac{G_{m+1,q}(x)}{m+1} = [2]_q \sum_{n=1}^\infty (-1)^n q^n n^m$ が得られ、$q$-Genocchi 数と $q$-級数との関連が結びつけられる。