[論文レビュー] Identities on the k-ary Lyndon words related to a family of zeta functions

İrem Küçükoğlu, Yılmaz Şimşek|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Advanced Mathematical Identities参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、k-ary Lyndon語の素数長の生成関数と特殊ゼータ関数、アポストル・ベルヌーイ数、フロベニウス・オイラー数との明示的関係を確立する。モビウス反転と生成関数の恒等式を用いて、アポストル・ベルヌーイ数の閉形式生成関数を導出し、Hurwitz-Lerchゼータ関数およびオイラー数と関連付ける。これにより、特殊数列の新しい組合せ的解釈が得られる。

ABSTRACT

The main aim of this paper is to investigate and introduce relations between the numbers of k-ary Lyndon words and unified zeta-type functions which was defined by Ozden et al [15, p. 2785]. Finally, we give some identities on generating functions for the numbers of k-ary Lyndon words and some special numbers and polynomials such as the Apostol-Bernoulli numbers and polynomials, Frobenius-Euler numbers, Euler numbers and Bernoulli numbers.

研究の動機と目的

• オズデンらが導入した統一ゼータ型関数とk-ary Lyndon語の個数との関係を探索し、形式化すること。
• 特殊数列を用いて、k-ary Lyndon語の素数長の生成関数を導出すること。
• Lyndon語の組合せ的数え上げを、アポストル・ベルヌーイ数、フロベニウス・オイラー数、オイラー数などの特殊関数と統一すること。
• モビウス反転を介して、これらの生成関数とHurwitz-Lerchゼータ関数、算術関数との間の恒等式を確立すること。

提案手法

• p=2 の場合に、既知の結果と一致する生成関数 $ f_{L_y}(t,p) = \frac{1}{p} \frac{t^2}{(1-t)^3} $ を導出する。
• 恒等式 $ k^n = \bigsum_{d|n} d L_k(d) $ にモビウス反転を適用し、Lyndon語の個数とべき和との関係を確立する。
• アポストル・ベルヌーイ数の生成関数 $ \frac{t}{ze^t - 1} $ を用いて、$ f_{L_y}(t,p) $ を $ \frac{\beta_2(t)}{2p} - \frac{\beta_{p+1}(t)}{p(p+1)} $ と表現する。ここで $ \beta_n(t) $ はアポストル・ベルヌーイ数を表す。
• 恒等式 $ f_{L_y}(t,p) = \frac{t}{p} \big( H_1(1/t) - H_p(1/t) \big) $ を用いて、$ f_{L_y}(t,p) $ とフロベニウス・オイラー数との関係を確立する。ここで $ H_n(z) $ はフロベニウス・オイラー数を表す。
• 恒等式 $ \beta_n(z) = \frac{n}{z^{-1}} H_{n-1}(1/z) $ を用いて、特殊関数と組合せ論とを関連付ける。
• 恒等式 $ \frac{B_{n+1}(m+1) - B_{n+1}}{n+1} = \bigsum_{d|n} d \bigsum_{k=0}^m L_k(d) $ を適用し、べき和とLyndon語の個数とを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k-ary Lyndon語の素数長の生成関数は、アポストル・ベルヌーイ数を用いてどのように表現できるか？
• RQ2 $ f_{L_y}(t,p) $ の生成関数とHurwitz-Lerchゼータ関数との関係は何か？
• RQ3 フロベニウス・オイラー数とオイラー数は、Lyndon語の数え上げの文脈でどのように現れるか？
• RQ4 モビウス反転を用いて、Lyndon語の個数とベルヌーイ多項式、べき和とを結ぶ恒等式を導出できるか？
• RQ5 $ p=2 $ や $ p=3 $ のような小さな素数に対して、生成関数 $ f_{L_y}(t,p) $ の明示的形は何か？ また、既存の結果と整合するか？

主な発見

• k-ary Lyndon語の素数長 $ p $ の生成関数は、$ f_{L_y}(t,p) = \frac{\beta_2(t)}{2p} - \frac{\beta_{p+1}(t)}{p(p+1)} $ で与えられ、ここで $ \beta_n(t) $ はアポストル・ベルヌーイ数を表す。
• $ p=2 $ の場合、生成関数は $ f_{L_y}(t,2) = \frac{t^2}{(1-t)^3} $ に簡略化され、先行研究で知られている結果と一致する。
• $ p=3 $ の場合、生成関数は $ f_{L_y}(t,3) = \frac{2t^2}{(t-1)^4} $ に評価され、一般式と整合的である。
• 生成関数はまた、$ f_{L_y}(t,p) = \frac{t}{p} \big( H_1(1/t) - H_p(1/t) \big) $ とも表現され、ここで $ H_n(z) $ はフロベニウス・オイラー数を表す。
• フロベニウス・オイラー恒等式に $ z = -1 $ を代入すると、$ f_{L_y}(-1,p) = \frac{E_p - E_1}{p} $ が得られ、ここで $ E_n $ はオイラー数を表す。
• 恒等式 $ \bigsum_{d|n} d \bigsum_{k=0}^m L_k(d) = \frac{B_{n+1}(m+1) - B_{n+1}}{n+1} $ により、Lyndon語の個数とベルヌーイ多項式、べき和とが関連づけられる。