[論文レビュー] Ill-posedness for the incompressible Euler equations in critical Sobolev spaces

Tarek M. Elgindi, In‐Jee Jeong|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2次元非圧縮性Euler方程式が臨界Sobolev空間 $H^1$ で強い不適定性を示すことを、任意に小さな $H^1 \cap L^\infty$ ノルムを持つ滑らかで局所的な初期渦度を構成することで示している。この初期渦度は、非常に短時間のうちに $H^1$ ノルムが大きく膨張する。そのメカニズムは、原点周りに奇-奇対称性を持つ渦度が双曲的流れを生成し、渦度勾配を引き伸ばすことにあり、$t>0$ で即座に $H^1$ 正則性を失う。これは、$L^\infty \cap H^1$ 初期データからでも成立する。この結果は、臨界正則性空間におけるノルムの膨張と $H^1$ からの即時脱出を確立する。

ABSTRACT

For the $2D$ Euler equation in vorticity formulation, we construct localized smooth solutions whose critical Sobolev norms become large in a short period of time, and solutions which initially belong to $L^\infty \cap H^1$ but escapes $H^1$ immediately for $t>0$. Our main observation is that a localized chunk of vorticity bounded in $L^\infty \cap H^1$ with odd-odd symmetry is able to generate a hyperbolic flow with large velocity gradient at least for a short period of time, which stretches the vorticity gradient.

研究の動機と目的

• 2次元非圧縮性Euler方程式が臨界Sobolev空間 $H^1(\mathbb{T}^2)$ で強い不適定性を示すことを目的とし、滑らかな初期データからでも正則性が即座に失われる現象を確立する。
• 初期データが $L^\infty \cap H^1$ に属する場合に、$t>0$ で解が $H^1$ から脱出する可能性があることを示し、$H^1$ における連続的依存性が成り立たないことを示す。
• $H^1$ におけるノルムの膨張と $W^{s,p}$ 空間（$1 \leq s < 6/5$、$sp=2$）への脱出を示す、単純で明示的な初期データの構成を提供し、不適定性をより広い臨界空間へ拡張する。
• 臨界空間におけるwell-posednessの従来の期待を揺るがすために、$\omega \in H^1$ の場合に速度勾配がLipschitz正則性を持たないことが、急速な渦度勾配の増大を可能にし、$H^1$ を制御できなくなることを示す。

提案手法

• 原点周りに奇-奇対称性を持つ、滑らかでコンパクトな台を持つ初期渦度 $\omega_0$ を構成し、$H^1 \cap L^\infty$ ノルムを小さく保つ。
• Bahouri-Cheminの定常解を背景とし、$C^\infty$ の局所的摂動を導入することで $H^1$-正則性を達成する。具体的には $\omega_0(x_1,x_2) = \Delta(x_1x_2 |\ln|x||^2)$ の形をとる。
• KiselevとŠverákのキーレンマを用いて、ラグランジュ的流れ写像 $\Phi(t,x)$ の解析を通じて、速度勾配の増大を制御する。この流れ写像は原点付近で双曲的伸びを示す。
• 渦度勾配の増幅を、$u$ がBiot-Savart法則により $\omega$ から導かれる輸送方程式 $\partial_t \omega + u \cdot \nabla \omega = 0$ を用いて示す。
• 速度勾配 $\|\nabla u\|_{L^\infty}$ の増大（対数的増大）に起因して、$\|\nabla \omega(t)\|_{L^2}$ の時間微分を推定することで、$\omega(t,\cdot)$ の $H^1$ ノルムが急速に増大することを証明する。
• 解は $t>0$ で空間的に $C^\infty$ であるが、任意の $\delta>0$ に対して $L^\infty([0,\delta); H^1)$ に属しないことを示し、$H^1$ 正則性の即時喪失を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意に小さな $H^1$ ノルムを持つ滑らかで局所的な初期データ $\omega_0 \in L^\infty \cap H^1$ が、任意に短時間のうちに $H^1$ ノルムを任意に大きくすることができるか。これは臨界空間 $H^1$ におけるノルムの膨張を示す。
• RQ2 初期データが $H^1$ に属する場合に、$t>0$ で即座に $H^1$ から脱出する可能性があるか。これは、滑らかでコンパクトな台を持つ初期データからでも成立する。
• RQ3 $H^1$ における不適定性を、$1 \leq s < 6/5$ および $sp=2$ の $W^{s,p}$ 空間、あるいは $1 \leq s < 2$ の $W^{s,p}$ 空間へ拡張できるか。
• RQ4 $H^1$ ノルムの膨張は、$\omega \in H^1$ の場合に速度がLipschitz正則性を持たないことに起因するか。また、この現象は双曲的流れ構造と定量的に関連づけられるか。
• RQ5 ジョン=ニレングラフ型推定の最良性が示唆する最適減衰率の観点から、$H^1$ 正則性の喪失が最適であることを示せるか。

主な発見

• 任意の $\epsilon > 0$ に対して、$\|\omega_0\|_{H^1 \cap L^\infty} < \epsilon$ かつ $\mathrm{supp}(\omega_0) \subset B_0(\epsilon)$ を満たす、$\mathbb{T}^2$ 上の $C^\infty$ 初期渦度 $\omega_0$ が存在し、ある $0 < t < \epsilon$ に対して $\|\omega(t,\cdot)\|_{H^1} > \epsilon^{-1}$ となる。これは $H^1$ におけるノルムの膨張を証明する。
• $1 \leq s < 6/5$ および $sp=2$ を満たす初期データ $\omega_0 \in L^\infty \cap W^{s,p}$ が存在し、原点を除いて滑らかであるが、任意の $t_0 > 0$ に対して $\mathrm{ess\text{-}sup}_{0<t\leq t_0} \|\omega(t,\cdot)\|_{H^1} = +\infty$ となる。これは $H^1$ への即時脱出を示す。
• この構成は、すべての $1 \leq s < 2$ に対して $W^{s,p}$ における不適定性を示すように拡張可能であり、初期データが $L^\infty \cap W^{s,p}$ に属するが、$t>0$ で $W^{s,p}$-ノルムが無限大に発散する。これは正則性制御のより広範な失敗を示す。
• そのメカニズムは、奇-奇対称渦度が双曲的流れを生成し、速度勾配が $\ln(1/x_2)$ のように増大することで、渦度勾配を引き伸ばし、$H^1$ ノルムの膨張を引き起こすことに起因する。
• 解は $t>0$ で空間的に $C^\infty$ であるが、任意の $\delta>0$ に対して $L^\infty([0,\delta); H^1)$ に属しない。これは、$H^1$ 正則性が滑らかな初期データからでも保存されないことを確認する。
• $\omega \in H^1$ の場合に速度場がLipschitz正則性を持たないことが、不安定性の根本的原因である。これは速度勾配が十分に増大し、渦度を引き伸ばして $H^1$ を制御できなくなることを可能にする。