[論文レビュー] Impact of a cost functional on the optimal control and the cost-effectiveness: control of a spreading infection as a case study

Fernando Saldaña, José Ariel Camacho-Gutíerrez+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2020

COVID-19 epidemiological studies参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本研究は、特に制御変数（L1、L2）および状態変数へのべき乗依存性に基づく異なるコスト関数形が、SIRおよびSEIRS疫病モデルにおける最適制御戦略に与える影響を調査する。結果として、介入コストが低い場合には最適制御が制御のべき乗（n）の変化に対して頑健であるが、状態に依存するコスト構造に対しては非常に感受的であり、これが結果を支配することが判明した。

ABSTRACT

In applications of the optimal control theory to problems in medicine and biology, the dependency of the objective functional on the control itself is often a matter of controversy. In this paper, we explore the impact of the dependency using reasonably simple \emph{SIR} and \emph{SEIRS} epidemic models. To qualitatively compare the outcomes for different objective functionals, we apply the cost-effectiveness analysis. Our result shows that, at least for the comparatively inexpensive controls, the variation of the power at the controls in a biologically feasible range does not significantly affect the forms of the optimal controls and the corresponding optimal state solutions. Moreover, the costs and effectiveness are affected even less. At the same time, the dependency of the cost on the state variables can be very significant.

研究の動機と目的

• 異なるコスト関数形の下での疫病モデルにおける最適制御解の頑健性を評価すること。
• コスト関数の数学的形態、特に制御変数（n ≠ 2）および状態変数へのべき乗依存性が、最適制御構造と有効性に与える影響を調査すること。
• 医療的制御応用においてL2型（二次的）とL1型（線形）コスト関数形を用いる実用的意義を評価すること。
• 異なる関数形を比較する費用対効果分析を実施し、より信頼性が高く一般化可能な結果をもたらす関数形を特定すること。
• 真の制御変数へのコスト依存性が不確実な場合に、一般的に用いられるL2コスト関数形が信頼できる代理指標であるかどうかを特定すること。

提案手法

• SIRおよびSEIRS疫病モデルを用いて、4つの異なるコスト関数形シナリオ（QSI：二次的、密度不変型、LSI：線形、密度不変型、QSD：二次的、密度依存型、LSD：線形、密度依存型）に基づく最適制御問題を定式化した。
• 最適性の必要条件を導出するため、ポントリャーギンの最大原理を適用し、二点境界値問題に還元した。
• すべての4つのシナリオにおいて、最適制御プロファイルおよび状態軌道を比較するために数値シミュレーションを実施した。
• 費用対効果分析を実施し、異なる関数形間での総コストおよび介入有効性を定量的に比較した。
• u^n（n=1のときL1、n=2のときL2）におけるべき乗nの変化を用いて、制御コスト関数形の変化に対する解の感受性を評価した。
• 状態変数に依存するコスト（例：感染症患者の密度に比例するコスト）と制御のみに依存するコストの影響を評価した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御依存コスト項u^nにおけるべき乗nが、疫病モデルにおける最適制御の構造および挙動に与える影響は何か？
• RQ2 密度不変型と密度依存型のコスト関数形は、最適制御戦略および疾患動態にどのように影響を与えるか？
• RQ3 制御に関するコスト関数形の変化に対して、最適制御解はどの程度頑健か？
• RQ4 状態に依存するコスト構造が、最適制御および全体の費用対効果に与える影響はどの程度顕著か？
• RQ5 真の制御変数へのコスト依存性が不確実または二次的でない場合に、L2型コスト関数形が信頼できる近似として用いられるか？

主な発見

• SIRおよびSEIRSモデルの両方において、密度不変型のコスト関数形では、L1（線形）とL2（二次的）の制御コスト関数形の下での最適制御および状態軌道は、定性的に類似している。
• 密度依存型コスト関数形（QSDおよびLSD）の最適制御および解は、密度不変型のケースとは顕著に異なり、状態に依存するコストに強い感受性があることが示された。
• 介入コストが潜在的感染損失の10％未満の場合、最適制御は制御コスト項のべき乗nの変化に対して頑健であり、制御構造や有効性にほとんど影響を受けることがなかった。
• 状態変数（例：感染症患者の密度）に依存するコストの依存性は、L1とL2の制御コスト形の選択よりも、最適制御および費用対効果にはるかに大きな影響を与える。
• 最適制御プロファイルはnの変化に対して頑健であるが、同じ制御戦略下でもn=1かn=2かによって実際の総コストは顕著に変動することがある。
• 介入コストが疾患負担に比べて低い場合には、真の制御コスト依存性が不確実な場合でも、L2型関数形は、現実の疾患制御計画において有効かつ実用的な出発点として残り続ける。