[論文レビュー] Implementing the fanout gate by a Hamiltonian

Stephen Fenner|ArXiv.org|Sep 23, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、n 個のキュービットを単純な2次ハミルトニアン $ H_n = J(\sum Z_i)^2 $ に従って時間発展させることで、n が偶数の場合に限り、(n+1)-キュービットのファンアウトゲートを正確に実装できることを示している。主な結果は、このハミルトニアンの時間発展演算と単一キュービット操作を組み合わせることで、ファンアウトゲートを定数深度の量子回路として実現できることであり、これは量子計算にとって普遍的であり、回路ベースのファンアウト合成とは物理的に妥当な代替手段を提供する。

ABSTRACT

We show that, for even n, evolving n qubits according to a simple Hamiltonian can be used to exactly implement an (n+1)-qubit parity gate, which is equivalent in constant depth to an (n+1)-qubit fanout gate. We also observe that evolving the Hamiltonian for three qubits results in an inversion-on-three-way-equality gate, which together with single-qubit operations is universal for quantum computation.

研究の動機と目的

• 量子ファンアウトゲートの代替的物理的実装を検討すること。これは強力ではあるが、従来の量子回路を用いた実装が困難である。
• 複雑な回路合成を避け、単純で物理的に現実的なハミルトニアンが時間発展演算によってファンアウトゲートを生成できることを示すこと。
• ハミルトニアン発展演算を介してファンアウトゲートとパリティゲートが等価であることを確立し、定数深度の量子計算を可能にすること。
• スピン鎖やトラップドアイオントンなどの系において、このようなハミルトニアンが実際に実装可能かどうかを調査すること。特に、キュービット数に二次的に依存する相互作用が存在する場合を想定する。

提案手法

• 本稿では、n 個のキュービットに作用し、計算基底において対角的なハミルトニアン $ H_n = J(\sum_{i=1}^n Z_i)^2 $ を用いて、系を時間発展演算させる。
• 時間発展演算は $ U_n = e^{-iH_n t} $ で記述され、$ t = \pi/4 $ とすることで、状態のパリティに依存する位相シフトが得られる。
• n が偶数の場合、発展演算 $ U_n $ はグローバル位相を除きパリティゲートを実装し、位相因子 $ i^{k(n-k)} $ は状態に含まれる1の数に依存する。
• ファンアウトゲートは、$ U_n $ とアダマールゲートおよび位相ゲート（例：$ S^\dagger $）を組み合わせることで、条件付き位相を分離し、望ましい出力を得る。
• この構成は $ n \equiv 0 \pmod{4} $ および $ n \equiv 2 \pmod{4} $ に拡張され、位相因子に適切な修正が加えられる。
• また、$ H_n $ の3キュービット版を時間発展演算させると、'等価性に応じた反転'ゲート $ I_= $ が得られ、単一キュービットゲートと組み合わせることで普遍的であることが示されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複雑な量子回路に依存せずに、単純な2次ハミルトニアンを用いて量子ファンアウトゲートを実装できるか？
• RQ2 キュービット数とそのパリティが、$ H_n $ における時間発展演算によって生じる位相シフトに果たす役割は何か？
• RQ3 3キュービット版のハミルトニアンは、単一キュービット操作と組み合わせることで、普遍的ゲートセットを生成できるか？
• RQ4 同じ物理的ハミルトニアンを用いて、$ n \equiv 0 \pmod{4} $ および $ n \equiv 2 \pmod{4} $ の両方の状況でファンアウトを実装でき、わずかな修正のみで可能か？
• RQ5 このような2次相互作用項を有するハミルトニアンが、実際に実装可能な物理系（例：スピン鎖、トラップドアイオン）は存在するか？

主な発見

• n が偶数の場合、$ H_n = J(\sum Z_i)^2 $ に従って n 個のキュービットを時間 $ \pi/4 $ 発展演算させると、グローバル位相を除きパリティゲートが実装され、位相因子 $ i^{k(n-k)} $ は状態に含まれる1の数に依存する。
• $ n \equiv 2 \pmod{4} $ の場合、奇数パリティ状態では位相因子が $ i $、偶数パリティ状態では1となり、アダマールゲートおよび $ S^\dagger $ ゲートを用いてファンアウトゲートを構成可能である。
• パリティゲートと単一キュービット操作を組み合わせることで、ファンアウトゲートは定数深度で実装可能であり、全回路では $ U_n $ を1回だけ使用する。
• $ n \equiv 0 \pmod{4} $ の場合、奇数パリティ状態では位相因子が $ -i $ となるため、$ U_n^{-1} $ を使用して正しい位相整合を保つ。
• 3キュービット版のハミルトニアン発展演算により、$ I_= $ ゲートが得られ、これは $ |abc\rangle $ を $ (-1)^{\delta_{ab}\delta_{ac}}|abc\rangle $ に写像する。単一キュービットゲートと組み合わせると、量子計算にとって普遍的である。
• 本稿では、より一般的なハミルトニアン $ L_n = \sum_{i<j} J_{ij}(X_iX_j + Y_iY_j + Z_iZ_j) $ もパリティを実装可能である可能性を予想しており、より広範な物理的適用可能性を示唆している。