[論文レビュー] Implicit-explicit BDF $k$ SAV schemes for general dissipative systems and their error analysis

Fukeng Huang, Jie Shen|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2021

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、一般の散逸系（アラン＝チャン型およびカーン＝ヒリャード型方程式を含む）に対して、無条件安定で高次（k=1から5）の陰・陽的BDF$k$スカラーアシスタント変数（SAV）スキームを提案する。特別な制御因子 $\eta_k^{n+1}$ を導入することで、エネルギーに基づくノルムに一様な有界性を保証し、非線形項のグローバルリプシッツ条件を仮定しない $L^\infty(0,T;H^2)$ ノルムにおける厳密な最適誤差推定を可能にする。

ABSTRACT

We construct efficient implicit-explicit BDF$k$ scalar auxiliary variable (SAV) schemes for general dissipative systems. We show that these schemes are unconditionally stable, and lead to a uniform bound of the numerical solution in the norm based on the principal linear operator in the energy. Based on this uniform bound, we carry out a rigorous error analysis for the $k$th-order $(k=1,2,3,4,5)$ SAV schemes in a unified form for a class of typical Allen-Cahn type and Cahn-Hilliard type equations. We also present numerical results confirming our theoretical convergence rates.

研究の動機と目的

• 一般の散逸系に対する高次、無条件安定な時間積分スキームの開発を目的とする。
• 高次スキームに対して厳密な誤差解析を欠いている既存のSAV手法の限界を克服することを目的とする。
• アラン＝チャン型およびカーン＝ヒリャード型方程式に適用可能な、$k$次BDF$^k$ SAVスキームの統一的誤差解析フレームワークを確立することを目的とする。
• 各時間ステップで定数係数をもつ1つの線形方程式を解くことで、計算効率を確保することを目的とする。
• $L^\infty(0,T;H^2)$ ノルムにおける最適誤差推定を、非線形項のグローバルリプシッツ仮定なしに得ることを目的とする。

提案手法

• エネルギーに基づくノルムに一様な有界性を保証するため、SAV定式化に新たな制御因子 $\eta_k^{n+1}$ を導入する。
• BDF$k$時間離散化と非線形項の陰・陽的（IMEX）処理を組み合わせる。
• SAVアプローチを一般の散逸系に適用し、補助変数を用いて元のエネルギー汎関数を二次形式に変換する。
• 文献[13]におけるBDF$k$スキームの安定性結果と一様な $H^1$ 有界性を組み合わせ、誤差解析を可能にする。
• $L^\infty(0,T;H^2)$ ノルムにおける最適誤差推定を導出するために、繊細な帰納法を用いる。
• 数値的検証により、$k=1$ から $5$ における理論的収束率が確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の散逸系に対して、無条件エネルギー安定性と最適誤差推定を備えた高次（k=1から5）BDF$^k$ SAVスキームを構築可能か？
• RQ2 $k$次SAVスキームに対して、エネルギーに基づくノルムに一様な有界性を確立するにはどうすればよいか？
• RQ3 各時間ステップで定数係数をもつ1つの線形方程式を解くことで、計算効率を維持できるか？
• RQ4 非線形項のグローバルリプシッツ連続性を仮定しない $L^\infty(0,T;H^2)$ ノルムにおける最適誤差推定を導出可能か？
• RQ5 数値結果が、$k=1$ から $5$ における理論的収束率を確認するか？

主な発見

• 提案された $k$ 次 BDF$^k$ SAVスキームは、無条件安定であり、数値解の $H^1$ ノルムに一様な有界性を示す。
• アラン＝チャン型およびカーン＝ヒリャード型方程式の両方に対して、$L^\infty(0,T;H^2)$ ノルムにおける最適誤差推定が確立された。
• 各時間ステップで定数係数をもつ1つの線形系を解くだけでよく、標準的なIMEXスキームと同等の計算効率を達成する。
• 非線形項のグローバルリプシッツ連続性を仮定しないで誤差推定が導出されたため、SAV法の適用範囲が拡張された。
• 数値結果により、$k=1$ から $5$ における理論的収束率が確認され、スキームの精度と安定性が検証された。
• 本手法は高次精度と無条件安定性を達成するとともに、適応的時間刻み法への適用も容易である。