[論文レビュー] Linear, Second order and Unconditionally Energy stable schemes for The Viscous Cahn-Hilliard Equation with hyperbolic relaxation

Xiaofeng Yang, Jia Zhao|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2017

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非線形項を半陽的に扱うことで、エネルギー安定性を保ちつつ、各時間ステップで対称正定値線形系のみを解くことのできる、2次精度で線形かつ無条件エネルギー安定な時間積分スキームを、粘性Cahn-Hilliard方程式にハイパボリックリラクゼーションを組み合わせた場合に提案する。この手法により、エネルギー散逸構造を保ちながらも、大きな時間ステップを許容できる。

ABSTRACT

In this paper, we consider the numerical approximations for the fourth order viscous Cahn-Hilliard equation with the hyperbolic relaxation. The main challenge in solving such a diffusive system numerically is how to develop high order temporal discretization for the hyperbolic and nonlinear terms that allows large time step while preserving the unconditional energy stability, i.e., the energy dissipative structure at the time-discrete level. We resolve this issue by developing two second order time marching schemes using the recently developed Invariant Energy Quadratization approach where all nonlinear terms are treated semi-explicitly. In each time step, one only needs to solve a linear system that is symmetric positive definite. We rigorously prove all proposed schemes are unconditionally energy stable, which is further verified by time step refinement test numerically. Moreover, a number of 2D and 3D numerical simulations are presented to demonstrate the stability, accuracy and efficiency of the proposed schemes.

研究の動機と目的

• ハイパボリックリラクゼーション付きの粘性Cahn-Hilliard方程式に対して、無条件エネルギー安定性を維持する高次時間離散化を構築すること。
• 非線形項およびハイパボリック項の存在下で、大きな時間ステップとエネルギー安定性の両立という課題を克服すること。
• 各時間ステップで対称正定値線形系を形成するように、計算効率の高い数値スキームを設計すること。
• 提案スキームの時間離散化レベルにおけるエネルギー安定性を厳密に証明すること。
• 2次元および3次元の広範な数値シミュレーションを通じて、精度、安定性、計算効率を検証すること。

提案手法

• 非線形項を二次エネルギー構造に再定式化するため、不変エネルギー平方化（IEQ）手法を用いる。
• IEQに再定式化された系に、Crank-Nicolsonに類似したスキームを適用して2次精度の時間離散化を達成する。
• すべての非線形項を半陽的に扱い、非線形方程式の反復解法を回避し、線形系の構造を維持する。
• 得られる時間離散系は、各時間ステップで対称正定値線形系となり、効率的に解ける。
• 離散エネルギーが時間とともに無条件に減少することを示すことにより、エネルギー安定性を厳密に証明する。
• 提案スキームは実装され、2次元および3次元のシミュレーションにより安定性および収束性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイパボリックリラクゼーション付きの粘性Cahn-Hilliard方程式に対して、2次精度の時間離散化を達成しつつ、無条件エネルギー安定性を維持できるか？
• RQ2 IEQを用いて非線形項を半陽的に扱うことで、線形系の構造を保ち、非線形方程式の反復解法を回避できるか？
• RQ3 大きな時間ステップを許容しつつエネルギー安定性を損なわないスキームを設計できるか？
• RQ4 2次元および3次元のシミュレーションにおいて、提案スキームの精度および計算効率はどのように評価できるか？
• RQ5 時間ステップの細分化テストにより、2次収束性および無条件エネルギー安定性が確認できるか？

主な発見

• 時間ステップの細分化テストにより、提案スキームが2次精度の時間収束を達成していることが確認された。
• 提案スキームは無条件エネルギー安定であり、離散エネルギーが各時間ステップで単調に減少する。
• 各時間ステップでは、対称正定値線形系を1回だけ解けばよく、計算効率が保証される。
• 2次元および3次元の数値シミュレーションにより、長時間積分においてもスキームの強固な安定性と精度が示された。
• IEQに基づくアプローチは、非線形項およびハイパボリック項を効果的に扱いながら、線形構造とエネルギー安定性を維持できた。
• 線形系の構造と無条件安定性のおかげで、スケーリング可能な大規模シミュレーションに適した効率的で実用的なスキームである。