[論文レビュー] Impredicative Encodings of (Higher) Inductive Types

Steve Awodey, Jonas Frey+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 36被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、依存型理論における帰納型および高次帰納型の非帰納的符号化を型理論的に精錬する手法を提示する。同手法により、恒等型を用いてパラメトリシティと双自然性を内部化することで、$η$-規則を回復し、従属除去を可能にする。主な貢献は、非帰納的符号化に対する証明可能で内部化された$η$-等価性の確立であり、自然数や円$ℂ^1$、1-切断といった高次帰納型に対して完全な従属除去子を可能にする。

ABSTRACT

Postulating an impredicative universe in dependent type theory allows System F style encodings of finitary inductive types, but these fail to satisfy the relevant η-equalities and consequently do not admit dependent eliminators. To recover η and dependent elimination, we present a method to construct refinements of these impredicative encodings, using ideas from homotopy type theory. We then extend our method to construct impredicative encodings of some higher inductive types, such as 1-truncation and the unit circle S1.

研究の動機と目的

• 型理論における非帰納的符号化が$η$-規則を満たさないという長年の問題に対処すること。
• 自然数や二項和といった有限帰納型に対して$η$-等価性と従属除去子を回復すること。
• ホモトピー型理論の原則を用いて、1-切断や単位円$ℂ^1$を含む高次帰納型へこの手法を拡張すること。
• 外部モデルや意味論に依存せずに、完全に内部化された型理論的精錬を非帰納的符号化に施すこと。
• 実現可能性モデルと群様モデルを用いて、精錬された符号化の整合性とモデル理論的基盤を確立すること。

提案手法

• パラメトリシティと双自然性を内部化するために、恒等型を用いて非帰納的符号化を精錬し、命題的$η$-等価性を保証すること。
• Yoneda補題の型理論的版を適用して、$A + B$のような非再帰的型の$η$-規則を回復すること。
• 帰納型の従属除去を可能にするように、初期代数を非帰納的符号化を用いて構成すること。
• ホモトピー型理論における$0$-型と$n$-型の概念を用いて、$1$-型や高次帰納型へこの手法を一般化すること。
• $0$-型レベルでの恒等証明の一意性（UIP）を活用し、命題的$η$-等価性から従属除去子を導出すること。
• 小規模な和と恒等型を含む、非帰納的宇宙$Σ$が閉じた型理論において符号化を形式化し、整合性と普遍性に関する内部的推論を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限帰納型の非帰納的符号化を、型理論内で$η$-規則と従属除去を満たすように精錬することは可能か？
• RQ2 外部モデルに依存せずに、型理論内でパラメトリシティと双自然性を内部化し、$η$-等価性を回復する方法は何か？
• RQ3 この手法を1-切断や単位円$ℂ^1$を含む高次帰納型へ拡張することは可能か？
• RQ4 $n > 1$の$n$-型へ符号化手法を一般化するために必要な整合性条件は何か？それらは取り扱えるか？
• RQ5 実現可能性モデルと群様モデルにおいて、精錬された符号化の整合性の強さとモデル理論的根拠は何か？

主な発見

• 精錬された非帰納的符号化は命題的$η$-等価性を満たしており、[AGS12, AGS17]で示されたように、従属除去子を導出可能である。
• 自然数$ℕ$を$∀ X. olinebreak (X \to X) \to X \to X$として符号化し、恒等型を用いて従属除去を可能にするように精錬した。
• 二項和$A + B$は非帰納的に符号化され、Yoneda風の議論を用いてその$η$-規則を回復した。
• この手法により、型の1-切断と単位円$ℂ^1$が高次帰納型として非帰納的構成を用いて正しく符号化された。
• 符号化は切断レベルに対して安定である。例えば、$ℕ$の符号化は1-型の文脈で構成されても依然として$0$-型のままである。
• 和と恒等型を含む非帰納的宇宙が閉じた実現可能性モデルは、このシステムを正当化しており、群様モデルは$1$-型を支持する。