[論文レビュー] Improved Approximation Algorithms for Individually Fair Clustering

Ali Vakilian, Mustafa Yalçiner|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2021

Facility Location and Emergency Management参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ℓp-ノルムコストに基づく個別に公平なクラスタリングにおける、改善されたバイクリテリア近似アルゴリズムを提示する。一般の p > 1 に対しては (16^p + ε, 3)-近似を達成し、k-メディアン（p=1）に対しては (7.081 + ε, 3) を達成する。この手法は、マトロイド制約付き施設配置問題に拡張され、公平なクラスタリングをグループ公平性問題に還元し、先行研究の (p^O(p), 7) の保証を著しく改善する。

ABSTRACT

We consider the $k$-clustering problem with $\ell_p$-norm cost, which includes $k$-median, $k$-means and $k$-center, under an individual notion of fairness proposed by Jung et al. [2020]: given a set of points $P$ of size $n$, a set of $k$ centers induces a fair clustering if every point in $P$ has a center among its $n/k$ closest neighbors. Mahabadi and Vakilian [2020] presented a $(p^{O(p)},7)$-bicriteria approximation for fair clustering with $\ell_p$-norm cost: every point finds a center within distance at most $7$ times its distance to its $(n/k)$-th closest neighbor and the $\ell_p$-norm cost of the solution is at most $p^{O(p)}$ times the cost of an optimal fair solution. In this work, for any $\varepsilon>0$, we present an improved $(16^p +\varepsilon,3)$-bicriteria for this problem. Moreover, for $p=1$ ($k$-median) and $p=\infty$ ($k$-center), we present improved cost-approximation factors $7.081+\varepsilon$ and $3+\varepsilon$ respectively. To achieve our guarantees, we extend the framework of [Charikar et al., 2002, Swamy, 2016] and devise a $16^p$-approximation algorithm for the facility location with $\ell_p$-norm cost under matroid constraint which might be of an independent interest. Besides, our approach suggests a reduction from our individually fair clustering to a clustering with a group fairness requirement proposed by Kleindessner et al. [2019], which is essentially the median matroid problem [Krishnaswamy et al., 2011].

研究の動機と目的

• ℓp-ノルムコスト関数における個別に公平なクラスタリングのための効率的近似アルゴリズムのギャップを埋めること。
• ℓp-コストを伴う公平な k-クラスタリングに対する先行の (p^O(p), 7)-バイクリテリア近似を改善すること。
• 特に k-メディアンおよび k-センターの変種において、より良い公平性およびコスト近似要因を達成すること。
• ℓp-コストを伴うマトロイド制約付き施設配置問題に対する、独立して価値のある新しいアルゴリズムを開発すること。
• 中央値マトロイド問題を通じて、個別に公平なクラスタリングをグループ公平性問題に還元すること。

提案手法

• Charikar ら（2002）および Swamy（2016）の施設配置フレームワークを、マトロイド制約付きの ℓp-コストに拡張する。
• マトロイド制約付き施設配置問題における ℓp-コストに対する 16^p-近似アルゴリズムを導入し、これが主結果の中心的役割を果たす。
• 点集合のクリティカルリージョン分解を用いて、点をその (n/k)-近傍距離に基づいてグループ化する。
• クリティカルリージョン内の点のコピーを含む変換されたインスタンス P' を構築し、センターの分布を保証するためのパーティションマトロイド制約を適用する。
• 変換されたインスタンス上でセンター分割アルゴリズムを用いて、公平性およびコストの境界を保持する解を計算する。
• 中央値マトロイド問題を通じて、個別に公平なクラスタリング問題をグループ公平性問題に還元し、既存の近似技術の活用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 個別に公平な ℓp-クラスタリングにおける (p^O(p), 7) の保証を上回る、より良い公平性およびコスト近似要因を達成可能か？
• RQ2 k-メディアンおよび k-センターの個別公平性の下で、定数倍のコスト近似が可能か？
• RQ3 ℓp-コストを伴うマトロイド制約付き施設配置問題を 16^p 因子内で近似可能か？
• RQ4 中央値マトロイド問題を通じた個別に公平なクラスタリングからグループ公平性への還元は、改善された近似をもたらすか？
• RQ5 公平性のバイクリテリア近似要因を 7 から 3 に低減可能か、かつ定数倍のコスト近似を維持できるか？

主な発見

• 本稿は、ℓp-コストを伴う α-公平 k-クラスタリングに対して (16^p + ε, 3)-バイクリテリア近似を達成し、先行の (p^O(p), 7) の保証を改善する。
• k-メディアン（p=1）に対しては (7.081 + ε, 3)-バイクリテリア近似を達成し、先行の (84, 7) の結果を著しく改善する。
• k-センター（p=∞）に対しては (3 + ε, 3)-バイクリテリア近似を達成し、先行の (O(log n), 7) の境界を改善する。
• ℓp-コストを伴うマトロイド制約付き施設配置問題に対する新しい 16^p-近似アルゴリズムが開発され、独立して価値がある可能性がある。
• 中央値マトロイド問題を通じたグループ公平性への還元により、既存の近似技術を活用して、より良い公平性およびコストの境界を得ることが可能になる。
• コスト近似要因は β + ε で有界であり、ここで β は下位の施設配置アルゴリズムの近似比を表し、ε は任意に小さい加法的誤差を許容する。