[論文レビュー] Improved Distance Sensitivity Oracles with Subcubic Preprocessing Time

Hanlin Ren|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、小さな整数辺重みをもつ有向および無向グラフに対する距離感応性オракル（DSO）の、新規で簡素化された構築法を提示する。Pの前処理時間とQのクエリ時間を持つ任意のDSOが、前処理時間に ˜O(n²)·Q を追加することでO(1)クエリ時間に変換可能であるという鍵となる観察を活用することで、有向グラフでは ˜O(n².⁷²³³M)、無向グラフでは ˜O(n².⁶⁸⁶⁵M) の前処理時間で、両者ともO(1)クエリ時間のDSOを達成した。この手法は、r-切り捨てDSOの再帰的拡張に依存しており、長さℓのパスに対するクエリでO(ℓ)時間でパス報告を効率的に行うことも可能である。

ABSTRACT

We consider the problem of building Distance Sensitivity Oracles (DSOs). Given a directed graph $G=(V, E)$ with edge weights in $\{1, 2, \dots, M\}$, we need to preprocess it into a data structure, and answer the following queries: given vertices $u,v\in V$ and a failed vertex or edge $f\in (V\cup E)$, output the length of the shortest path from $u$ to $v$ that does not go through $f$. Our main result is a simple DSO with $ ilde{O}(n^{2.7233}M)$ preprocessing time and $O(1)$ query time. Moreover, if the input graph is undirected, the preprocessing time can be improved to $ ilde{O}(n^{2.6865}M)$. The preprocessing algorithm is randomized with correct probability $\ge 1-1/n^C$, for a constant $C$ that can be made arbitrarily large. Previously, there is a DSO with $ ilde{O}(n^{2.8729}M)$ preprocessing time and $\operatorname{polylog}(n)$ query time [Chechik and Cohen, STOC'20]. At the core of our DSO is the following observation from [Bernstein and Karger, STOC'09]: if there is a DSO with preprocessing time $P$ and query time $Q$, then we can construct a DSO with preprocessing time $P+ ilde{O}(n^2)\cdot Q$ and query time $O(1)$. (Here $ ilde{O}(\cdot)$ hides $\operatorname{polylog}(n)$ factors.)

研究の動機と目的

• 小さな整数辺重みをもつグラフに対する、より効率的で概念的に単純な距離感応性オーキャル（DSO）の設計。
• 立方時間未満の前処理時間で、O(1)クエリ時間のサポートを維持しながら、DSOの前処理時間を短縮すること。
• パス長に比例する時間で出力可能なパス報告クエリをサポートするようにDSOを拡張すること。
• 特に無向グラフにおいて、先行研究を上回る前処理時間の上限を達成すること。
• 負の辺重みを扱えるようにこのアプローチを一般化する可能性を検討すること。ただし、これは未解決の課題のままである。

提案手法

• 中心的な手法は変換に基づくものである：前処理時間P、クエリ時間Qの任意のDSOは、前処理時間に ˜O(n²)·Q を追加することで、O(1)クエリ時間のDSOに変換可能である。
• 著者らは、rが小さい基本DSOから出発し、高速行列乗算技術を用いてr-切り捨てDSOを再帰的に構築する。
• 各レベルiにおいて、前回のレベルDi−1を、長さが増加するパスを捉えるように注意深く選択された ˜O(n²) 個のクエリ (uq, vq, fq) を用いて拡張することでDSO Diを計算する。
• 長大なパスを、低レベルのDSOから取得可能な短い部分パスに分解するための、キーワード頂点ヒッティング機構を用いる。
• パス報告は、ヒッティング頂点を格納し、低レベルのDSO内の部分パスから再帰的にパスを再構築することで実現する。
• 前処理は、高確率（w.h.p.）で正しくなるランダム化アルゴリズムを用い、基本的なクエリではDSOサイズが ˜O(n²) に保たれ、パス報告を有効にすると ˜O(n²⁺ᵃ) にまで増加する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さな整数辺重みをもつグラフにおいて、O(1)クエリ時間のDSOでサブキュービック前処理時間を達成できるか？
• RQ2 既存のDSO構築法を単純化しつつ、前処理時間を改善することは可能か？
• RQ3 無向グラフの前処理時間は、現在の ˜O(n².⁶⁸⁶⁵M) の境界をさらに下回らせるか？
• RQ4 DSO構築法を、過剰な空間コストを伴わずに、効率的なパス報告をサポートするように拡張できるか？
• RQ5 負の辺重みを扱えるようにこの技術を一般化できるか？ただし、r-切り捨てDSOとの整合性を保つ課題がある。

主な発見

• 本稿では、有向グラフに対して ˜O(n².⁷²³³M)、無向グラフに対して ˜O(n².⁶⁸⁶⁵M) の前処理時間で、両者ともO(1)クエリ時間のDSOを達成した。
• 無向グラフの前処理時間は、ω ≈ 2.3728639 のとき、既存の最良のAPSPアルゴリズムの時間 ˜O(nωM) と一致する。
• パス報告を有効にしたDSOは、長さℓのパスに対してO(ℓ)時間で動作し、空間計算量は ˜O(n²⁺ᵃ) となる。ただし、有向グラフでは a = 0.276724 である。
• 構築法はランダム化されており、高確率（任意の定数cに対して 1 − 1/nᶜ の確率）で正しく動作する。
• 従来の最良の前処理時間 ˜O(n².⁸⁷²⁹M)（多対数時間クエリを有するDSO）を上回る改善を達成した。
• 従来の構築法よりも概念的に単純であり、任意のDSOをO(1)クエリ時間のDSOに変換する一般化された変換を活用している。