[論文レビュー] Near-Optimal Deterministic Single-Source Distance Sensitivity Oracles

Davide Bilò, Sarel Cohen+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 22被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、整数辺重みが[1, M]に属するグラフに対して、最初の決定的で近似的最適な単一始点距離感応性オракル（DSO）を提示する。空間計算量はO(M^{1/2}n^{3/2})、クエリ時間はÕ(1)を達成する。既存の確率的SSRPアルゴリズムを組み合わせ的および代数的技法を用いて決定的化し、未重み付きおよび重み付きグラフの最適な空間境界を維持しつつ、前処理時間を著しく改善する。

ABSTRACT

Given a graph with a source vertex $s$, the Single Source Replacement Paths (SSRP) problem is to compute, for every vertex $t$ and edge $e$, the length $d(s,t,e)$ of a shortest path from $s$ to $t$ that avoids $e$. A Single-Source Distance Sensitivity Oracle (Single-Source DSO) is a data structure that answers queries of the form $(t,e)$ by returning the distance $d(s,t,e)$. We show how to deterministically compress the output of the SSRP problem on $n$-vertex, $m$-edge graphs with integer edge weights in the range $[1,M]$ into a Single-Source DSO of size $O(M^{1/2}n^{3/2})$ with query time $\widetilde{O}(1)$. The space requirement is optimal (up to the word size) and our techniques can also handle vertex failures. Chechik and Cohen [SODA 2019] presented a combinatorial, randomized $\widetilde{O}(m\sqrt{n}+n^2)$ time SSRP algorithm for undirected and unweighted graphs. Grandoni and Vassilevska Williams [FOCS 2012, TALG 2020] gave an algebraic, randomized $\widetilde{O}(Mn^ω)$ time SSRP algorithm for graphs with integer edge weights in the range $[1,M]$, where $ω<2.373$ is the matrix multiplication exponent. We derandomize both algorithms for undirected graphs in the same asymptotic running time and apply our compression to obtain deterministic Single-Source DSOs. The $\widetilde{O}(m\sqrt{n}+n^2)$ and $\widetilde{O}(Mn^ω)$ preprocessing times are polynomial improvements over previous $o(n^2)$-space oracles. On sparse graphs with $m=O(n^{5/4-\varepsilon}/M^{7/4})$ edges, for any constant $\varepsilon > 0$, we reduce the preprocessing to randomized $\widetilde{O}(M^{7/8}m^{1/2}n^{11/8})=O(n^{2-\varepsilon/2})$ time. This is the first truly subquadratic time algorithm for building Single-Source DSOs on sparse graphs.

研究の動機と目的

• 整数辺重みを持つグラフのための決定的で空間効率の良い単一始点距離感応性オーキャル（DSO）の開発。
• 近的最適な空間計算量O(M^{1/2}n^{3/2})を達成しつつ、Õ(1)のクエリ時間を維持すること。
• 未重み付きおよび重み付きグラフにおいて、同じ漸近的実行時間で既存の確率的SSRPアルゴリズムを決定的化すること。
• 特にスパarsなグラフにおいて、o(n²)-空間のオーキャルの前処理時間を短縮すること。
• オーキャルを経路報告をサポートするように拡張し、わずかに増加した空間計算量の代わりに定数時間クエリを達成すること。

提案手法

• 未重み付きグラフのためのChechikとCohenの確率的eO(m√n + n²)の組み合わせ的SSRPアルゴリズムを、確率的技法とピボットに基づく経路再構成を用いて決定的化する。
• 区間内の辺の部分集合に対して置換経路距離を効率的に計算するために、範囲最小値クエリ（RMQ）データ構造を応用する。
• ランダムピボットを用いて、故障した辺を避ける置換経路を高確率で特定し、高確率集中不等式を活用する。
• 動的境界∆[a,b]とδ[a,b]を持つ辺区間[a,b]における再帰的探索により、最小置換距離ペア(dℓ, e∗ℓ)を特定する。
• 区間内での二分探索により、状態IIの「遠いケース」において最小置換距離を達成する辺を特定し、高確率で正しさを保証する。
• 構造化されたインデックス化とピボットに基づく経路表現を用いて、SSRP出力を圧縮し、コンactなオーキャルを構築し、効率的なクエリ解決を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 未重み付きグラフのための確率的eO(m√n + n²)の組み合わせ的SSRPアルゴリズムを、同じ漸近的実行時間で決定的化できるか？
• RQ2 重み付きグラフのための代数的eO(Mn^ω)のSSRPアルゴリズムを、前処理効率を保ちつつ決定的化できるか？
• RQ3 近的最適な空間計算量O(M^{1/2}n^{3/2})とÕ(1)のクエリ時間を持つ決定的単一始点DSOを構築できるか？
• RQ4 スパースグラフ（m = O(n^{5/4−ε} M^{7/4})本の辺を有する）において、前処理時間をO(n²)未満に短縮できるか？
• RQ5 前処理がサブクアドラチックで、近的最適な空間計算量を維持しつつ、クエリ時間をO(1)に短縮できるか？

主な発見

• 本稿は、O(M^{1/2}n^{3/2})の空間計算量とÕ(1)のクエリ時間を有する決定的単一始点DSOを提示する。これは、多項対数因子を除いて空間下界と一致する。
• 組み合わせ的DSOの前処理時間はeO(m√n + n²)であり、従来のo(n²)-空間オーキャルよりも√nの要因で改善されている。
• 重み付きグラフでは、代数的決定的化によりeO(Mn^ω)の前処理時間が得られ、従来のo(n²)-空間オーキャルよりも多項式的要因で改善されている。
• オーキャルの変種は、空間計算量をO(M^{1/3}n^{5/3})に増加させることで、O(1)のクエリ時間を達成する。
• m = O(n^{5/4−ε} M^{7/4})本の辺を有するスパースグラフでは、前処理時間がeO(M^{7/8} m^{1/2} n^{11/8}) = O(n^{2−ε/2})に短縮され、このようなオーキャルにおいて最初の真のサブクアドラチックアルゴリズムである。
• すべてのオーキャルは経路報告が可能であり、距離だけでなく実際に置換経路を返すことができる。