[論文レビュー] Improved implementation of reflection operators

Anirban Narayan Chowdhury, Yiğit Subaşı+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、位相推定よりも指数関数的に少ないアーキテクチャクビットを用いて、ユニタリ演算子の固有ベクトルに関する近似反射演算子を実装する量子アルゴリズムを提示する。qubit要件をO(log(1/ε)log(1/Δ))からO(log log(1/ε) + log(1/Δ))に削減する一方で、ゲート数とクエリ数の複雑さを同等に維持する。この手法は線形ユニタリ結合（LCU）と無知型アモニチュード増幅（OAA）を組み合わせており、探索、最適化、断熱的状態準備の分野における量子アルゴリズムにおける顕著なリソース削減を実現する。

ABSTRACT

Quantum algorithms for diverse problems, including search and optimization problems, require the implementation of a reflection operator over a target state. Commonly, such reflections are approximately implemented using phase estimation. Here we use a linear combination of unitaries and a version of amplitude amplification to approximate reflection operators over eigenvectors of unitary operators using exponentially less ancillary qubits in terms of a precision parameter. The gate complexity of our method is also comparable to that of the phase estimation approach in a certain limit of interest. Like phase estimation, our method requires the implementation of controlled unitary operations. We then extend our results to the Hamiltonian case where the target state is an eigenvector of a Hamiltonian whose matrix elements can be queried. Our results are useful in that they reduce the resources required by various quantum algorithms in the literature. Our improvements also rely on an efficient quantum algorithm to prepare a quantum state with Gaussian-like amplitudes that may be of independent interest. We also provide a lower bound on the query complexity of implementing approximate reflection operators on a quantum computer.

研究の動機と目的

• ユニタリ演算子の固有ベクトルに関する近似反射演算子を実装するために必要なアーキテクチャクビット数を削減すること。
• 位相推定と比較して顕著にqubitのオーバーヘッドを低減しつつ、低ゲート数・クエリ数の複雑さを維持すること。
• ハミルトニアンの場合への拡張—つまり、クエリアクセス可能な行列要素を持つハミルトニアンHの固有ベクトルに関する反射を実装すること。
• 反射実装のクエリ複雑さに対する下界を確立し、理論的限界を示すこと。

提案手法

• 反射演算子を制御されたユニタリ時間発展の重ね合わせに分解するために、線形ユニタリ結合（LCU）を用いる。
• 事前にターゲット状態を知らないままに望ましい成分を増幅できる、変種のアモニチュード増幅（無知型アモニチュード増幅：OAA）を適用する。
• ガウス型の振幅を持つ状態を効率的に準備するための量子アルゴリズムを用い、反射構築におけるリソース状態として利用する。
• Δ = O(1/log(1/ε))の極限においてゲート複雑さを低減するために、近似量子フーリエ変換を活用する。
• アーキテクチャクビットを特別に準備されたガウス型の重ね合わせ状態に初期化し、UとU†の制御的適用を組み合わせて反射演算子を構築する。
• ハミルトニアンHの行列要素へのクエリアクセスを用いることで、ハミルトニアンの場合にこのフレームワークを拡張し、Hの固有ベクトルに関する反射を実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相推定よりも指数関数的に少ないアーキテクチャクビットで、ユニタリ演算子の固有ベクトルに関する反射演算子を実装できるか？
• RQ2 ターゲット固有ベクトルのε-近似反射を実装するために必要な最小のクエリ数とゲート数の複雑さは何か？
• RQ3 線形ユニタリ結合と無知型アモニチュード増幅の使用は、位相推定と比較してリソース効率に優れているか？
• RQ4 この手法は、クエリアクセス可能な行列要素を持つハミルトニアンの固有ベクトルであるターゲット状態に一般化可能か？
• RQ5 このような近似反射を実装するためのクエリ複雑さの理論的下界は何か？

主な発見

• 提案手法により、位相推定におけるO(log(1/ε)log(1/Δ))からO(log log(1/ε) + log(1/Δ))にアーキテクチャクビット数が削減され、指数的改善が達成された。
• ゲート複雑さはO(log(1/Δ) log(log(1/Δ)/ε))であり、Δ = O(1/log(1/ε))の極限では位相推定と同等の複雑さを維持する。
• クエリ複雑さはO(log(1/ε)/Δ)のまま維持され、位相推定のアプローチと一致し、対数要因を除いて理論的下界と一致する。
• ガウス型の振幅を持つ状態を準備するための新しい量子アルゴリズムが開発され、他の量子アルゴリズムにおいても独立して有用である可能性がある。
• ε = O(Δ)の範囲で、Ω((1/Δ)√log(1/(Δ+ε)))のクエリ複雑さの下界が確立され、この範囲で本手法の近似的最適性が示された。
• ハミルトニアンの場合への拡張により、n_H = O(log log(1/ε) + log(1/Δ))のアーキテクチャクビットが達成され、位相推定を上回り、既存の最良の結果と一致した。