[論文レビュー] Improved integrality gap upper bounds for TSP with distances one and two

Matthias Mnich, Tobias Mömke|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、部分巡回路除去緩和（SER）の解のサポート構造を分析することで、辺コストが1および2の巡回セールスマン問題（TSP）の整数ギャップ上界を改善する。SER⁺と呼ばれる修正された線形計画法を導入し、1つの切断平面不等式を追加することで、多項式時間アルゴリズムを用いて成分が少ない2マッチングを効率的に探索可能となる。これにより、整数ギャップのタイトな上界が得られる：無向TSPでは5/4、半整数解では7/6、部分グラフがサブキュービックの場合には10/9。有向TSPでは、3/2および4/3の上界が達成される。

ABSTRACT

We study the structure of solutions to linear programming formulations for the traveling salesperson problem (TSP). We perform a detailed analysis of the support of the subtour elimination linear programming relaxation, which leads to algorithms that find 2-matchings with few components in polynomial time. The number of components directly leads to integrality gap upper bounds for the TSP with distances one and two, for both undirected and directed graphs. Our main results concern the subtour elimination relaxation with one additional cutting plane inequality: - For undirected instances we obtain an integrality gap upper bound of 5/4 without any further restrictions, of 7/6 if the optimal LP solution is half-integral. - For instances of order n where the fractional LP value has a cost of n, we obtain a tight integrality gap upper bound of 10/9 if there is an optimal solution with subcubic support graph. The latter property that the graph is subcubic is implied if the solution is a basic solution in the fractional 2-matching polytope. - For directed instances we obtain an integrality gap upper bound of 3/2, and of 4/3 if given an optimal 1/2-integral solution. In the case of undirected graphs, we can avoid to add the cutting plane inequality if we accept slightly increased values. For the tight result, the cutting plane is not required. Additionally, we show that relying on the structure of the support is not an artefact of our algorithm, but is necessary under standard complexity-theoretic assumptions: we show that finding improved solutions via local search is W[1]-hard for k-edge change neighborhoods even for the TSP with distances one and two, which strengthens a result of Dániel Marx.

研究の動機と目的

• 辺コストが1および2の対称的および非対称的TSPの整数ギャップ上界を改善すること。
• 部分巡回路除去緩和（SER）の解のサポート構造を分析することで、より良い近似保証を可能にすること。
• 成分が少ない2マッチングを探索する多項式時間アルゴリズムを開発し、直接的に改善された整数ギャップに結び付けること。
• 半整数性やサブキュービックサポートグラフといった構造的仮定の下でタイトな上界を確立すること。
• kエッジ変更の局所探索がW[1]-hardであることを証明し、複雑性理論的仮定のもとで構造的解析が不可欠であることを示すこと。

提案手法

• 標準的な部分巡回路除去緩和（SER）に1つの切断平面不等式を追加してSER⁺を構築し、整数解が保証されるようにすること。
• 最適SER⁺解のサポートグラフを分析し、より良い2マッチング構築を可能にする構造的性質を同定すること。
• 2マッチングを成分が少ない形に変換する多項式時間アルゴリズムを設計し、孤立頂点を避け、交互パスを用いること。
• 交互パスとパス変換に基づく改善を適用し、2マッチングの成分数をn/4以下にまで削減すること。
• 分数2マッチングポリトープの基本解における既知の構造的性質（特に半整数性とサブキュービック次数）を活用し、よりタイトな上界を導出すること。
• t-クリーク問題への還元を用いて、kエッジ変更の局所探索がW[1]-hardであることを証明し、構造的解析の必要性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分巡回路除去緩和の整数ギャップは、サポートグラフの構造的洞察を用いることで、距離が1および2のTSPにおいて改善可能か？
• RQ2 最適SER解が半整数であるか、サブキュービックサポートを持つ場合、どの程度の整数ギャップ上界が達成可能か？
• RQ3 SER⁺における1つの切断平面不等式の使用は、多項式時間解法の保持を損なわずに、よりタイトな整数ギャップ上界を達成するために十分か？
• RQ4 特定の構造的制約の下で、無向および有向TSPの両方において、改善された近似保証を導出可能か？
• RQ5 (1,2)-TSPにおけるkエッジ変更の局所探索は、固定パrameter可 tractable（FPT）か、それとも標準の複雑性仮定のもとでW[1]-hardか？

主な発見

• 無向(1,2)-STSPでは、SER⁺の整数ギャップは追加制約なしで5/4以下であり、最適解が半整数の場合には7/6以下である。
• 最適LP値がnで、サブキュービックサポートグラフを持つ無向(1,2)-STSPでは、整数ギャップはタイトに10/9で抑えられる。
• 有向(1,2)-ATSPでは、SER⁺の整数ギャップは3/2以下であり、最適解が半整数の場合には4/3以下である。
• 無向TSPにおける5/4の上界には切断平面不等式は不要であるが、サブキュービックサポート下でのタイトな10/9上界を得るためには不可欠である。
• kエッジ変更による改善解の探索は、(1,2)-TSPにおいてW[1]-hardである。これは、構造的解析が単なる便宜ではなく、本質的であることを示している。
• 指数時間仮説（Exponential Time Hypothesis）のもとでは、kエッジ変更(1,2)-TSPに対してf(k)·n^{o(√[3]{k})}-時間アルゴリズムは存在しない。これは、nの指数部分に対する強い下界を示している。