[論文レビュー] Improved recovery guarantees and sampling strategies for TV minimization in compressive imaging

Ben Adcock, Nick Dexter+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2020

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 25被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、フーリエ変換およびウォルシュ＝ハダマール変換を用いた圧縮画像復元における全 variation (TV) 最小化のための、改善された理論的復元保証と最適なサンプリング戦略を提示する。$ m \gtrsim s \times \log^2(s) \times \log^4(N) $ の測定値が、$ d \geq 1 $ 次元においてランダムサンプリング下で安定的かつロバストな復元に十分であることが確立され、2次元では $ \log(s) \times \log(N) $ の要因で既存の境界を改善し、構造的バイナリーウォルシュサンプリングに対する初めてのこのような保証を提供する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the use of Total Variation (TV) minimization for compressive imaging; that is, image reconstruction from subsampled measurements. Focusing on two important imaging modalities -- namely, Fourier imaging and structured binary imaging via the Walsh--Hadamard transform -- we derive uniform recovery guarantees asserting stable and robust recovery for arbitrary random sampling strategies. Using this, we then derive a class of theoretically-optimal sampling strategies. For Fourier sampling, we show recovery of an image with approximately $s$-sparse gradient from $m \gtrsim_d s \cdot \log^2(s) \cdot \log^4(N)$ measurements, in $d \geq 1$ dimensions. When $d = 2$, this improves the current state-of-the-art result by a factor of $\log(s) \cdot \log(N)$. It also extends it to arbitrary dimensions $d \geq 2$. For Walsh sampling, we prove that $m \gtrsim_d s \cdot \log^2(s) \cdot \log^2(N/s) \cdot \log^3(N) $ measurements suffice in $d \geq 2$ dimensions. To the best of our knowledge, this is the first recovery guarantee for structured binary sampling with TV minimization.

研究の動機と目的

• フーリエ変換および構造的バイナリー（ウォルシュ＝ハダマール）サンプリングの両方において、任意のランダムサンプリング戦略下でのTV最小化のための一様な復元保証を確立すること。
• 安定的かつロバストな画像再構成に必要な測定数を最小化する理論的に最適なサンプリング戦略を導出すること。
• 特に2次元およびそれ以上の次元の画像に対して、TV最小化の既存の復元境界を改善すること。
• ウォルシュ＝ハダマール変換を用いた構造的バイナリー・サンプリングにおけるTV最小化のための、初めての理論的復元保証を提供すること。
• 勾配スパース性 $ s $ および画像サイズ $ N $ に基づいて、正確な再構成に必要な測定数 $ m $ を定量化すること

提案手法

• 圧縮センシング理論を活用し、ランダムサンプリング下でのTV最小化のための一様な復元保証を導出し、ノイズへの安定性とロバスト性を保証する。
• TV半ノルムとハールウェーブレット係数との関係を用いて、勾配スパース性と復元誤差を分析する。
• フーリエ変換およびウォルシュ＝ハダマール変換の両方のランダムサンプリング行列の確率的解析を通じて、測定境界を導出する。
• 復元問題を、勾配の $ \ell^1 $-最小化の制約付き問題として定式化し、ノイズ制約 $ \|Az - y\|_{\ell^2} \leq \eta $ を含む。
• 多次元における等方的TV半ノルムの $ \ell^{2,1} $-ノルム構造を扱うために、独創的な解析フレームワークを導入する。
• 高次元確率およびランダム行列理論の結果を応用し、勾配スパース信号における制限等長性性質（RIP）の境界を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムフーリエサンプリング下で、$ s $-スパース勾配を持つ $ d $ 次元画像をTV最小化により安定的に復元するために必要な最小測定数 $ m $ は何か？
• RQ2 フーリエベースの圧縮画像復元において、2次元以上の高次元画像に対し、理論的復元保証を拡張できるか？
• RQ3 ウォルシュ＝ハダマール変換を用いた圧縮画像復元におけるTV最小化のための最適なサンプリング戦略は何か？
• RQ4 TV最小化における構造的バイナリー・サンプリングに対して、一様な復元保証を確立できるか？（この分野には従来、理論的結果が不足していた。）
• RQ5 新しい境界は、$ s $、$ N $、$ d $ に依存する点で、既存の最先端の結果と比較してどのように異なるか？

主な発見

• $ d $ 次元のフーリエ・サンプリングにおいて、$ m \gtrsim s \cdot \log^2(s) \cdot \log^4(N) $ の測定値が、$ s $-スパース勾配を持つ画像の安定的かつロバストな復元に十分である。
• 2次元の場合、これは既存の最先端の境界を $ \log(s) \cdot \log(N) $ の要因で改善し、顕著な定量的改善を示す。
• この復元保証は、任意の次元 $ d \geq 1 $ にまで拡張可能であり、多次元圧縮画像復元の一般フレームワークを提供する。
• 構造的バイナリー・ウォルシュ＝ハダマール・サンプリングにおいては、$ m \gtrsim s \cdot \log^2(s) \cdot \log^2(N/s) \cdot \log^3(N) $ の測定値が十分であり、この設定における初めての理論的保証を示す。
• 結果として得られた保証は一様なものであり、高確率で、すべての近似的に勾配スパースな画像を、1回のランダムサンプリングで復元可能であることを意味する。
• 導出された境界は、対数要因を除き最適であり、測定数を最小化する点で理論的に最適なサンプリング戦略である。