[論文レビュー] Improved Set-Based Symbolic Algorithms for Parity Games

Krishnendu Chatterjee, Wolfgang Dvořák+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Formal Methods in Verification参考文献 22被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、パリティゲームを解くための2つの改善された集合ベースの記号的アルゴリズムを提示する。これらは、線形空間計算量を維持しつつ、部分指数的記号的操作を達成する。最初のアルゴリズムは O(n^{c/2+1}) の記号的操作と O(n) の空間を要し、2番目のアルゴリズムはこれを O(n^{c/3+1}) に削減する。両者とも線形空間を維持しており、パリティゲームにおける部分指数的作業数を有する最初の線形空間記号的アルゴリズムを実現している。

ABSTRACT

Graph games with ω-regular winning conditions provide a mathematical framework to analyze a wide range of problems in the analysis of reactive systems and programs (such as the synthesis of reactive systems, program repair, and the verification of branching time properties). Parity conditions are canonical forms to specify ω-regular winning conditions. Graph games with parity conditions are equivalent to μ-calculus model checking, and thus a very important algorithmic problem. Symbolic algorithms are of great significance because they provide scalable algorithms for the analysis of large finite-state systems, as well as algorithms for the analysis of infinite-state systems with finite quotient. A set-based symbolic algorithm uses the basic set operations and the one-step predecessor operators. We consider graph games with $n$ vertices and parity conditions with $c$ priorities. While many explicit algorithms exist for graph games with parity conditions, for set-based symbolic algorithms there are only two algorithms (notice that we use space to refer to the number of sets stored by a symbolic algorithm): (a) the basic algorithm that requires $O(n^c)$ symbolic operations and linear space; and (b) an improved algorithm that requires $O(n^{c/2+1})$ symbolic operations but also $O(n^{c/2+1})$ space (i.e., exponential space). In this work we present two set-based symbolic algorithms for parity games: (a) our first algorithm requires $O(n^{c/2+1})$ symbolic operations and only requires linear space; and (b) developing on our first algorithm, we present an algorithm that requires $O(n^{c/3+1})$ symbolic operations and only linear space. We also present the first linear space set-based symbolic algorithm for parity games that requires at most a sub-exponential number of symbolic operations.

研究の動機と目的

• 形式的検証および合成の中心的役割を果たすパリティゲームにおける記号的アルゴリズムのスケーラビリティのギャップを解消すること。
• 既存の集合ベースの記号的アルゴリズムにおける記号的操作回数と空間計算量のトレードオフを克服すること。
• 大規模または無限状態系の効率的解析を可能にするために、部分指数的記号的操作を達成しつつ線形空間を維持するアルゴリズムの設計。
• パリティゲームに対して、部分指数的作業数を有する最初の線形空間記号的アルゴリズムを提供すること。これは、従来の指数的空間ソリューションを改善する。

提案手法

• 最初のアルゴリズムは、ドミナント分解に基づく再帰的分解を用い、記号的前像計算と集合演算を活用して、操作回数を削減した勝利領域を特定する。
• 線形空間を維持するために、記号的前向きに進める技術（progress measure lifting）を、基本的な集合演算と1ステップ先祖（CPre）演算のみを用いて符号化する。
• 2番目のアルゴリズムは、再帰的構造を精緻化し、さらに記号的操作を削減するために、大ステップ記号的アトラクタ計算を用いる。
• 進行測度の小ステップ記号的バージョンを採用し、進行測度を集合で表現し、記号的CPreと集合演算を用いて更新する。
• 中間の進行測度状態を保存せず、必要な集合を必要に応じて再計算することで、線形空間を維持する。
• 勝利戦略は、記号的CPreと集合積演算を並列に用いて計算され、各プレイヤーの戦略はアトラクタと前像計算から導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パリティゲームの集合ベース記号的アルゴリズムを設計できるか。その際、部分指数的記号的操作を達成しつつ、線形空間しか使用しない。
• RQ2 既存の記号的アルゴリズムにおける記号的操作回数を、線形空間計算量を超えない範囲で削減することは可能か。
• RQ3 大規模または無限状態系の実用的かつ効率的な解析を可能にするために、部分指数的作業数と線形空間使用の両方を満たす記号的アルゴリズムを開発できるか。
• RQ4 進行測度技術を記号的設定に適応させることで、効率的かつ空間効率的な勝利領域の計算を可能にする方法は何か。

主な発見

• 最初に提案されたアルゴリズムは、O(n^{c/2+1}) の記号的操作と O(n) の空間を達成し、同じ操作回数を維持しながら、従来の O(n^{c/2+1}) 空間アルゴリズムに比べて顕著に改善されている。
• 2番目のアルゴリズムは、記号的操作回数を O(n^{c/3+1}) に削減しながらも、依然として O(n) の空間しか使用せず、大幅な効率性向上を実現している。
• 本稿は、部分指数的記号的操作回数を要する最初の線形空間記号的アルゴリズムを提示しており、記号的アルゴリズム設計における重要な未解決問題を解決している。
• 勝利戦略は、勝利集合の計算と同一の記号的操作および空間制約内で計算可能であり、戦略の完全な合成が可能である。
• 記号的進行測度構築により、各プレイヤーに対して O(n) のCPre操作と O(c·n²) の集合操作を用いて、効率的な戦略抽出が可能である。
• これらのアルゴリズムは、ブール変数または有界整数変数を有する有限状態系、および商が有限である無限状態系（時刻オートマトンやハイブリッドシステムなど）の両方へ適用可能である。