[論文レビュー] Improved Sobolev embeddings, profile decomposition, and concentration-compactness for fractional Sobolev spaces

Giampiero Palatucci, Adriano Pisante|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、モレッジノルムを含む分数階ソボレフ空間における改良されたソボレフ埋込み不等式を確立し、臨界ソボレフ埋込みにおける最適化子の存在および対称性に関するコンパクト性の直接的証明を可能にする。精密化された不等式により、$\dot{H}^{s}$ 空間におけるプロファイル分解と濃縮・コンパクト性の明確な導出が可能となり、亜臨界問題の漸近的挙動や最適化子の単一の点への濃縮に関する応用が得られる。

ABSTRACT

We obtain an improved Sobolev inequality in H^s spaces involving Morrey norms. This refinement yields a direct proof of the existence of optimizers and the compactness up to symmetry of optimizing sequences for the usual Sobolev embedding. More generally, it allows to derive an alternative, more transparent proof of the profile decomposition in H^s obtained in [P. Gerard, ESAIM 1998] using the abstract approach of dislocation spaces developed in [K. Tintarev & K. H. Fieseler, Imperial College Press 2007]. We also analyze directly the local defect of compactness of the Sobolev embedding in terms of measures in the spirit of [P. L. Lions, Rev. Mat. Iberoamericana 1985]. As a model application, we study the asymptotic limit of a family of subcritical problems, obtaining concentration results for the corresponding optimizers which are well known when s is an integer ([O. Rey, Manuscripta math. 1989; Z.-C. Han, Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire 1991], [K. S. Chou & D. Geng, Differential Integral Equations 2000]).

研究の動機と目的

• 臨界埋込みを強化するため、$\dot{H}^{s}({\mathds{R}}^{N})$ におけるモレッジノルムを含む改良されたソボレフ不等式を導出すること。
• 分数階空間における臨界ソボレフ埋込みの最適化子の存在および対称性に関するコンパクト性を、抽象的でない直接的証明で与えること。
• 分散空間理論に依存せずに、改良された不等式を用いて $\cdot{H}^{s}$ におけるプロファイル分解を再導出すること。
• 測度論的観点から、弱*収束を用いた測度によるコンパクト性の局所的欠損を分析し、整数階の場合の結果を拡張すること。
• 亜臨界問題の漸近的極限を解析し、有界領域における最適化子が単一の点に濃縮することを証明すること。

提案手法

• モレッジノルムを $\cdot{H}^{s}$ ノルムに組み込むことで、古典的な $L^{2^*}$ 埋込みを精緻化する新しい改良されたソボレフ不等式を導出する。
• 改良された不等式を用いて、$\cdot{H}^{s}$ 内の最適化列について、平行移動およびスケーリングの対称性に関するコンパクト性を直接証明する。
• [31, 32] の精神に従い、測度の弱*収束を用いてコンパクト性の欠損を分析する濃縮・コンパクト性原理を適用する。
• 弱*極限 $|(-\Delta)^{s/2}u_n|^2dx$ および $|u_n|^{2^*}dx$ から生じる原子測度 $\mu_j$ と $\nu_j$ を用いて、エネルギーと質量の濃縮を特徴付ける。
• 指数 $2^* - \varepsilon$ を持つ亜臨界問題 $S^*_\varepsilon$ の最大化子の漸近的挙動を解析し、$\varepsilon \to 0$ のとき臨界ケースに収束することを示す。
• スケーリングおよびコンパクト性の議論を用いて、適切な正規化のもとで最大化子が $\overline{\Omega}$ 内の単一の点 $x_0$ に濃縮することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階 $\dot{H}^s$ 空間における古典的ソボレフ埋込みは、モレッジノルムを用いて精緻化可能であり、より強いコンパクト性特性をもたらすか？
• RQ2 改良された不等式により、$\cdot{H}^s$ における最適化子の存在およびプロファイル分解の直接的で抽象的でない証明が可能か？
• RQ3 局所的コンパクト性の欠損は測度論的にどのように現れ、濃縮・コンパクト性によって特徴付けられるか？
• RQ4 指数が臨界閾値 $2^*$ に近づくにつれて、亜臨界問題の最大化子はどのように変化するか？
• RQ5 改良された不等式および測度論的道具を用いて、有界領域における最適化子の単一の点への濃縮を厳密に確立できるか？

主な発見

• 古典的な $\dot{H}^s \hookrightarrow L^{2^*}$ 埋込みを精緻化する、モレッジノルムを含む改良されたソボレフ不等式が確立された。
• 精密化された不等式により、$\dot{H}^s$ における臨界ソボレフ埋込みの最適化子の存在および対称性に関するコンパクト性の直接的証明が可能となった。
• 分散空間理論に依存せずに、改良された不等式を用いて $\cdot{H}^{s}$ におけるプロファイル分解を再導出し、抽象的でないより明確な構成的代替手法が得られた。
• 局所的コンパクト性の欠損は弱*収束を用いて特徴付けられる：$|u_n|^{2^*}dx \rightharpoonup^* \nu = S^*\delta_{x_0}$ および $|(-\Delta)^{s/2}u_n|^2dx \rightharpoonup^* \delta_{x_0}$ であり、これは単一の点への濃縮を示している。
• 指数が $2^* - \varepsilon$ である亜臨界問題に対して、最大化子 $u_\varepsilon$ は $\varepsilon \to 0$ のとき単一の点 $x_0 \in \overline{\Omega}$ に濃縮する。ここで $\|u_\varepsilon\|_{\dot{H}^s} \to 1$ であり、$|u_\varepsilon|^{2^*}dx \rightharpoonup^* S^*\delta_{x_0}$ である。
• 臨界ソボレフ不等式における最適定数 $S^*$ は極限で達成され、スケーリングの下で濃縮が安定であることが示され、スケーリングパラメータは $x_n \to x_0$ および $\lambda_n \to 0$ を満たす。