[論文レビュー] Subcritical approximation of a Yamabe type non local equation: a Gamma-convergence approach

Giampiero Palatucci, Adriano Pisante+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 33被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、$ \Gamma $-収束技術を用いて、分数階 $ H^s $ 空間における臨界ソボレフ埋め込みの下位臨界近似を検討する。近似問題における最適関数は、下位臨界指数が臨界に近づくにつれて、領域の閉包内の一点に $ H^s $ エネルギーが集中することを証明しており、極限におけるエネルギー測度はその点におけるデルタ関数（Dirac mass）であることが示される。

ABSTRACT

We investigate a natural approximation by subcritical Sobolev embeddings of the Sobolev quotient for the fractional Sobolev spaces $H^s$ for any $0<s<N/2$, using $\\Gamma$-convergence techniques. We show that, for such approximations, optimal functions always exist and exhibit a concentration effect of the $H^s$ energy at one point.

研究の動機と目的

• 下位臨界ソボレフ埋め込み $ \dot{H}^s(\Omega) \hookrightarrow L^{2^* - \varepsilon}(\Omega) $ の最大化関数の漸近的挙動を、指数が臨界閾値に近づく際の挙動として研究すること。
• コンパクト性および変分法を用いて、下位臨界近似フレームワークにおける最適関数の存在を確立すること。
• 下位臨界近似における $ H^s $ エネルギーの集中を、$ \Gamma^+ $-収束を用いて $ \varepsilon \to 0 $ 時の極限で分析すること。
• 最大化関数のエネルギー測度の弱極限が、領域の閉包内に存在する一点におけるデルタ関数として特徴付けられることを明らかにすること。
• 臨界ソボレフ不等式における最適定数が、エネルギー集中プロファイルにおいて唯一デルタ関数によって達成されることを証明すること。

提案手法

• 制約 $ \|(-\Delta)^{s/2}u\|_{L^2}^2 \leq 1 $ の下で、関数 $ F_\varepsilon(u) = \int_\Omega |u|^{2^* - \varepsilon} \, dx $ を用いた下位臨界近似の定式化。
• 関数列 $ F_\varepsilon $ の $ \Gamma^+ $-収束理論の適用。極限関数は、関数とそのエネルギー測度の弱極限を表すペア $ (u, \mu) $ の空間上に定義される。
• 分数階 $ H^s $ ノルムのフーリエに基づく定義と、$ 0 < s < 1 $ の場合のガリャルド半ノルム表現を用いて、エネルギー構造を分析すること。
• 濃縮・コンパクト性の原理と $ \dot{H}^s $ および $ L^{2^*} $ 空間における弱収束を用いてコンパクト性を確立すること。
• すべての $ (u, \mu) \in X $ に対して上界 $ F(u, \mu) \leq S^* $ を証明し、等号が成り立つのは $ u = 0 $ かつ $ \mu = \delta_{x_0} $（ある $ x_0 \in \overline{\Omega} $）のときのみであることを示すこと。
• 厳密な凸性と臨界埋め込みの非コンパクト性を活用し、極限において最適定数を達成できるのはデルタ関数のみであることを導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 下位臨界ソボレフ埋め込み $ \dot{H}^s(\Omega) \hookrightarrow L^{2^* - \varepsilon}(\Omega) $ の最大化関数は、$ \varepsilon \to 0 $ のときどのように振る舞うか？
• RQ2 $ \Gamma^+ $-収束フレームワークは、これらの最大化関数のエネルギー測度の極限挙動を記述できるか？
• RQ3 臨界ソボレフ不等式 $ \|u\|_{L^{2^*}}^{2^*} \leq S^* \|(-\Delta)^{s/2}u\|_{L^2}^{2^*} $ の最適定数は、非自明な集中プロファイルによって極限で達成されるか？
• RQ4 下位臨界指数 $ \varepsilon \to 0 $ のとき、最大化関数のエネルギーは領域内の一点に集中するか？
• RQ5 極限 $ \varepsilon \to 0 $ におけるエネルギー測度 $ |(-\Delta)^{s/2}u_\varepsilon|^2 dx $ の弱極限の正確な特徴付けは何か？

主な発見

• 任意の $ 0 < s < N/2 $ に対して、$ F_\varepsilon $ を用いた臨界ソボレフ埋め込みの下位臨界近似により、$ \varepsilon \to 0 $ のとき $ H^s $ エネルギー $ \|(-\Delta)^{s/2}u_\varepsilon\|_{L^2}^2 $ が領域の閉包内に存在する一点 $ x_0 \in \overline{\Omega} $ に集中する最大化関数 $ u_\varepsilon $ が得られる。
• $ F_\varepsilon $ の $ \Gamma^+ $-極限は、ペア $ (u, \mu) $ 上に定義される関数 $ F(u, \mu) $ であり、ここで $ \mu $ は正のレドン測度であり、$ F(u, \mu) = \int_\Omega |u|^{2^*} dx + S^* \sum_j \mu_j^{2^*/2} $ である。
• 極限関数 $ F $ の最大値は $ S^* $ であり、これは $ u = 0 $ かつ $ \mu = \delta_{x_0} $（ある $ x_0 \in \overline{\Omega} $）のときのみ達成される。
• エネルギー測度の列 $ |(-\Delta)^{s/2}u_\varepsilon|^2 dx $ は弱*収束して $ \delta_{x_0} $ に収束し、$ H^s $ エネルギーの点集中が確認される。
• 下位臨界問題における最大化関数の存在は、コンパクト埋め込み $ \dot{H}^s(\Omega) \hookrightarrow L^{2^* - \varepsilon}(\Omega) $ によって保証され、臨界ケースでは成立しない。
• 臨界ソボレフ定数 $ S^* $ は、$ \dot{H}^s(\Omega) $ 内のいかなる非ゼロ関数に対しても達成されないため、近似の必要性とエネルギー集中の出現が正当化される。