[論文レビュー] Improved Young Tower and Thermodynamic Formalism for Hyperbolic Systems with Singularities

Jianyu Chen, Fang Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 35被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、標準的族のカップリング補題を用いて、塔の基部への最初の帰還がマルコフ的であることを保証することで、特異性を有するホロモーフィック系（例：カオス的ビリヤード）に対して、改良されたヤングタワーを構築する。得られる可算状態のマルコフ分割により、SRB測度の下で、相関関数の指数的減衰や中心極限定理といった確率的性質を厳密に導出可能となり、誘導スキームを用いた幾何的ポテンシャルに対する完全な熱力学的形式主義が確立される。

ABSTRACT

For the hyperbolic systems with singularities, Markov partitions are rather delicate to construct because of the fragmentation of the phase space by singularities. In this paper, we investigate the chaotic billiards and other related hyperbolic systems with singularities, and construct an improved Young tower whose first return to the base is Markov. This leads to a Markov partition of the phase space with countable states. %Our construction is based on the coupling lemma %for standard families. Stochastic properties with respect to the SRB measure immediately follow from our construction of the Markov partition, including the decay rates of correlations and the central limit theorem. We further establish the thermodynamic formalism for the family of geometric potentials, by using the inducing scheme of hyperbolic type on the tower base. All the results apply to Sinai dispersing billiards, and their small perturbations due to external forces and nonelastic reflections with kicks and slips.

研究の動機と目的

• 位相空間の断片化に起因する特異性を有するホロモーフィック系におけるマルコフ分割の構築という課題に取り組む。
• 最初の帰還がマルコフ的であるような洗練されたヤングタワー構成を確立し、可算状態のマルコフ分割を可能にする。
• 新たなタワー構造を用いて、SRB測度の下で相関関数の減衰や極限定理といった確率的性質を厳密に導出する。
• 塔の基部における誘導スキームを用いて、特異性を有する系における幾何的ポテンシャルの熱力学的形式主義を確立する。
• 外部力、非弾性反射、キック・スリップ効果を含む、シナ・ディスパーセィングビリヤードおよびその摂動系への応用を拡張する。

提案手法

• 特異性付近の力学を制御し、タワー構成におけるマルコフ構造を保証するために、標準的族のカップリング補題を用いる。
• 最初の帰還写像がマルコフ的である塔の基部を有する改良されたヤングタワーを構築し、位相空間の可算状態マルコフ分割を可能にする。
• 塔の基部におけるホロモーフィック型の誘導スキームを適用し、幾何的ポテンシャルの熱力学的形式主義を分析する。
• マルコフ構造とSRB測度を活用して、相関関数の減衰や極限定理を含む確率的性質を確立する。
• 外部力、非弾性反射、スリップ／キック効果を含む摂動を含めたビリヤード系に、フレームワークを適応させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相空間の断片化に起因する特異性を有するホロモーフィック系において、マルコフ分割はどのように構築可能か？
• RQ2 特異性を有する系において、塔の基部への最初の帰還写像をマルコフ的にすることができるか？ これにより可算状態の分割が可能となるか？
• RQ3 改良されたタワー構造から、相関関数の減衰や中心極限定理といった確率的性質をどのように厳密に導出できるか？
• RQ4 誘導スキームを用いて、特異性を有する系における幾何的ポテンシャルの熱力学的形式主義をどのように構築できるか？
• RQ5 外部力、非理想反射を含む摂動を伴うシナ・ディスパーセィングビリヤードへの結果の適用範囲はどの程度広がるか？

主な発見

• 改良されたヤングタワー構成により、特異性を有するホロモーフィック系において、塔の基部への最初の帰還がマルコフ的であることが保証され、可算状態のマルコフ分割が得られる。
• 新たなマルコフ構造を用いて、SRB測度の下で、相関関数の指数的減衰や中心極限定理といった確率的性質が確立された。
• 塔の基部における誘導スキームを用いて、幾何的ポテンシャルの熱力学的形式主義が成功裏に構築され、圧力や平衡状態の分析が可能となった。
• 結果は、外部力、非弾性反射、スリップ／キック効果を含む、シナ・ディスパーセィングビリヤードおよびその小刻みな摂動系に適用可能である。
• 標準的族のカップリング補題は、特異性の管理とタワー構成におけるマルコフ性の確保に、中心的な役割を果たしている。