[論文レビュー] Improving Quantum Algorithms for Quantum Chemistry

M. B. Hastings, D. Wecker+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、量子化学シミュレーションのための量子アルゴリズムの効率性と正確性を向上させるための複数の最適化を導入する。ジョルダン＝ウィグナー変換のオーバーヘッドを追加のキュービットを必要とせずに定数コストに低減し、回路の深さを低下させるための並列化を可能にし、誤差を低減するためのトロッター＝シュヴィンガー項の再順序付け、およびトロッター段階の誤差を補正するためのハミルトニアンの修正を実施。その結果、現実的な分子において顕著に減少したゲート数と向上した正確性が得られた。

ABSTRACT

We present several improvements to the standard Trotter-Suzuki based algorithms used in the simulation of quantum chemistry on a quantum computer. First, we modify how Jordan-Wigner transformations are implemented to reduce their cost from linear or logarithmic in the number of orbitals to a constant. Our modification does not require additional ancilla qubits. Then, we demonstrate how many operations can be parallelized, leading to a further linear decrease in the parallel depth of the circuit, at the cost of a small constant factor increase in number of qubits required. Thirdly, we modify the term order in the Trotter-Suzuki decomposition, significantly reducing the error at given Trotter-Suzuki timestep. A final improvement modifies the Hamiltonian to reduce errors introduced by the non-zero Trotter-Suzuki timestep. All of these techniques are validated using numerical simulation and detailed gate counts are given for realistic molecules.

研究の動機と目的

• 量子コンピュータ上で量子化学をシミュレートする際の高いリソースコスト、特に標準的なトロッター＝シュヴィンガーとジョルダン＝ウィグナー実装による $ O(N^5) $ のゲート数を解決すること。
• 追加のアシスタントキュービットを必要とせずに、軌道数に対して線形または対数的コストから定数コストにジョルダン＝ウィグナー変換のオーバーヘッドを低減すること。
• 同じ総ゲート数を維持しながら、非可換項の並列化により回路深さを低減すること。
• トロッター段階を大きくしても、項の順序を再配置し、有効なハミルトニアンを修正することで、時間ステップ誤差を補正し、正確性を向上させること。
• LIQ$Ui| angle$ 量子シミュレータを用いて、実分子の数値的検証に基づく正確なゲート数を提供し、既存の手法と直接比較可能にする。

提案手法

• フェルミ統計の符号化を再編成することで、キュービット数を増加させずにゲートオーバーヘッドを定数に低減した修正ジョルダン＝ウィグナー回路を導入。
• 修正ジョルダン＝ウィグナー回路が非可換項の並列化を可能にし、並列化可能な演算の数に比例する要因で回路深さを低減することを実証。
• ハートリー＝フォック基底構造に基づいて、トロッター＝シュヴィンガー分解の項の順序を再配置し、1ステップあたりの誤差蓄積を最小化。
• 非ゼロのトロッター段階サイズを考慮した修正ハミルトニアンを適用し、時間順序誤差を効果的に補正。
• H2、LiH、BeH2 などの分子の正確なゲート数を計算し、改善を検証するため、LIQ$Ui| angle$ シミュレータを用いた数値シミュレーションを実施。
• 1次および2次トロッター＝シュヴィンガー分解を採用し、数値解析により、実際の非 degenerate ハミルトニアンと誤差項の期待値が消えることから、1次トロッター＝シュヴィンガーは $ O(1/n^2) $ のエネルギー誤差スケーリングを達成することが判明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 追加のキュービットを必要とせずに、ジョルダン＝ウィグナー変換のオーバーヘッドを線形または対数的から定数に低減できるか？
• RQ2 量子化学ハミルトニアンの非可換項をどれほど並列化できるか、回路深さの低減に寄与するか？
• RQ3 トロッター＝シュヴィンガー分解の項の再順序付けが、与えられた時間ステップにおける誤差にどのように影響するか？
• RQ4 非ゼロのトロッター段階に起因する誤差を補正するため、有効なハミルトニアンを修正することで、より大きな時間ステップを許容できるか？
• RQ5 これらの最適化を適用した場合、実分子における実際のゲート数の改善はどの程度か？ これは数値シミュレーションによって検証された。

主な発見

• 修正ジョルダン＝ウィグナー回路により、ゲートオーバーヘッドが定数に低減され、標準実装で見られる $ O(N) $ または $ O(\log N) $ のコストが排除された。
• 操作の並列化により、並列化可能な項の数に比例する要因で回路深さが低減され、同時に総ゲート数は維持された。
• ハートリー＝フォック基底構造に基づくトロッター＝シュヴィンガー項の再順序付けにより、1ステップあたりの誤差が顕著に低減された。
• 修正ハミルトニアンアプローチにより、非ゼロのトロッター段階誤差が補正され、標準的手法よりも大きな時間ステップで正確な結果を得られるようになった。
• H2、LiH、BeH2 などの現実的な分子において、提案された改善により、総ゲート数と回路深さが顕著に低減されたことが、LIQ$Ui| angle$ を用いた数値シミュレーションで確認された。
• 1次トロッター＝シュヴィンガーは、実際の非デジェネレートハミルトニアンと誤差項の期待値が消えることから、予想される $ O(1/n) $ スケーリングとは異なり、$ O(1/n^2) $ のエネルギー誤差スケーリングを達成することが判明した。