[論文レビュー] In--out intermittency in PDE and ODE models

Eurico Covas, Reza Tavakol+3 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2001

Geomagnetism and Paleomagnetism Studies被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、軸対称平均場ダイナモの偏微分方程式（PDE）および常微分方程式（ODE）モデルにおいて、初めてin–out間欠的挙動の明確な証拠を提供している。この新しい間欠的挙動は、非スケューパロッド構造に起因する「in」と「out」の交互に現れるフェーズを特徴とし、不変部分多様体を有する系で発生し、明確な統計的スケーリングを示す。主な貢献は、物理的に現実的なダイナモモデルにおいてin–out間欠的挙動を同定したことであり、太陽や恒星の磁気活動変動を理解するうえでその関連性を示唆している。

ABSTRACT

We find concrete evidence for a recently discovered form of intermittency, referred to as in--out intermittency, in both PDE and ODE models of mean field dynamos. This type of intermittency (introduced in Ashwin et al 1999) occurs in systems with invariant submanifolds and, as opposed to on--off intermittency which can also occur in skew product systems, it requires an absence of skew product structure. By this we mean that the dynamics on the attractor intermittent to the invariant manifold cannot be expressed simply as the dynamics on the invariant subspace forcing the transverse dynamics; the transverse dynamics will alter that tangential to the invariant subspace when one is far enough away from the invariant manifold. Since general systems with invariant submanifolds are not likely to have skew product structure, this type of behaviour may be of physical relevance in a variety of dynamical settings. The models employed here to demonstrate in--out intermittency are axisymmetric mean--field dynamo models which are often used to study the observed large scale magnetic variability in the Sun and solar-type stars. The occurrence of this type of intermittency in such models may be of interest in understanding some aspects of such variabilities.

研究の動機と目的

• 太陽や太陽型星の大型磁気活動変動を研究するために用いられる平均場ダイナモのODEおよびPDEモデルにおいて、in–out間欠的挙動の存在を示すこと。
• 最近提案された、スケューパロッド構造の欠如を要件とするin–out間欠的挙動が、単純な写像を超えた現実的な力学系においても発生するかを調査すること。
• スケューパロッド構造が単純化されない不変部分多様体を有する系においてもin–out間欠的挙動が観測可能であることを確立し、既知の間欠的ダイナミクスの範囲を拡大すること。
• これらのモデルにおける層流期持続時間の理論的スケーリング則の妥当性を検証し、in–out間欠的挙動の統計的特徴を確認すること。

提案手法

• 磁気活動を支持するパラメータ領域において、切断されたODEモデルおよび完全なPDE平均場ダイナモモデル（式3）の数値積分を実行すること。
• 『out』フェーズ中に横方向モードエネルギーの周期的ロックインと指数的増加が観測されるかを時系列解析により検出すること；これはin–out間欠的挙動の特徴的兆候である。
• 層流期持続時間の分布に対する統計的解析を実施し、理論的スケーリング則（1）が、小さい持続時間ではn−3/2のべき乗則低下を示し、大きな持続時間で明確なショルダーを示すかどうかを検証すること。
• ODEおよびPDE系における周期的ロックインと間欠的バーストの可視化を高めるために、時間サンプリングを適用すること。
• 2種類の異なるαクエンチング形式（標準的な代数的形（α = α₀/(1 + B²)）およびKitchatinov形式）を用いて、結果のパラメータ化へのロバストネスを検証すること。
• 長時間にわたるPDE積分の正確性と一貫性を保証するため、既存の数値コード（[10]および[19]で記述）を採用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 より複雑で物理的現実に近いPDEモデルの平均場ダイナモにおいて、in–out間欠的挙動が発生するか？
• RQ2 in–out間欠的挙動の統計的特徴（特に、層流期分布におけるn−3/2のスケーリングに加え、大きな層流期で顕著なショルダー）が、ODEおよびPDE両モデルで観測されるか？
• RQ3 非スケューパロッド構造がin–out間欠的挙動に不可欠であるか？また、この条件は現実的なダイナモモデルでも満たされているか？
• RQ4 位相空間的および統計的解析によって、これらのモデルで観測された間欠的挙動が、on–off間欠的挙動と区別可能か？
• RQ5 不変部分多様体の内部ダイナミクス（例えば、周期的アトラクタ）が、in–out間欠的挙動の『in』および『out』フェーズを可能にする役割を果たすか？

主な発見

• 切断ODEおよび完全PDE平均場ダイナモモデルの両方で、位相空間軌道および統計的分布に明確なin–out間欠的挙動の兆候が観測された。
• ODEおよびPDEモデルの両方で、層流期持続時間の分布が、小さな持続時間では予測されたn−3/2のスケーリングを示し、大きな持続時間で明確なショルダーを示しており、in–out間欠的挙動の理論的スケーリング（1）が裏付けられた。
• PDEモデルでは、『out』フェーズ中に横方向モードエネルギーが指数関数的に増加し、数個のオーダーにわたる増大を示しており、ODEモデルで観測された挙動を再現した。
• ODEおよびPDEモデルの両方で、『out』フェーズ中に周期的ロックインが視覚的および統計的に確認され、間欠的バースト中に一貫したダイナミクスが維持されていることが示された。
• 対称的および非対称的な不変部分多様体の両方で現象が発生しており、ダイナモモデル内の異なる構造的配置においても、強靭性が確認された。
• 高い計算コストにもかかわらず、PDEモデルは十分な積分時間を確保し、理論的スケーリングに収束した。図7は、層流期分布におけるショルダー特徴の明確な証拠を示している。