[論文レビュー] Inclusion relations and radius problems for a subclass of starlike functions

Prachi Gupta, Sumit Nagpal+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2020

Analytic and geometric function theory参考文献 41被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、カーディオイド写像 $\phi_{car}(z) = 1 + z + z^2/2$ に従属する星型関数の族 $\mathcal{S}^{*}_{car}$ を調査し、他の星型部分族との鋭い包含関係を確立し、それらの関連における正確な半径定数を計算する。主な貢献は、さまざまな関数族における $\mathcal{S}^{*}_{car}$ 属性の最良の半径を導出することであり、部分和および畳み込みに関する応用を含む。

ABSTRACT

By considering the polynomial function $ϕ_{car}(z)=1+z+z^2/2,$ we define the class $\Scar$ consisting of normalized analytic functions $f$ such that $zf'/f$ is subordinate to $ϕ_{car}$ in the unit disk. The inclusion relations and various radii constants associated with the class $\Scar$ and its connection with several well-known subclasses of starlike functions is established. As an application, the obtained results are applied to derive the properties of the partial sums and convolution.

研究の動機と目的

• 族 $\mathcal{S}^{*}_{car}$ と他のよく知られた星型関数の部分族との間の包含関係を確立すること。
• $\mathcal{F}_i^\chi$（$i=1,2,3$）を含むさまざまな関数族における $\mathcal{S}^{*}_{car}$-属性の鋭い半径定数を計算すること。
• 従属関係の原則を用いて、$\mathcal{S}^{*}_{car}$ に属する関数の部分和および畳み込みの性質を分析すること。
• 2つの星型関数のハダール積の $\rho$-拡大が $\mathcal{S}^{*}_{car}$ に属するような正確な半径 $\rho$ を特定すること。

提案手法

• 関数 $\mathcal{S}^{*}_{car} = \mathcal{S}^{*}(\phi_{car})$ を、単位円板上で $zf'(z)/f(z) \prec \phi_{car}(z)$ を満たす正規化された解析的関数の族として定義する。ここで $\phi_{car}(z) = 1 + z + z^2/2$ は単位円板をカーディオイド領域に写像する。
• $|z| = r$ 上での $\operatorname{Re}(\phi_{car}(z))$ の最大値および最小値を、従属関係と歪みの技法を用いて計算する。
• 補題 2.2（従属による円板の包含）を適用し、$zf'(z)/f(z)$ の像がカーディオイド領域 $\Omega_{car}$ に含まれるような半径 $r$ を特定する。
• Ma と Minda (1992) の既知の結果を用いて、$\mathcal{S}^{*}_{car}$ に属する関数の係数の上限を導出し、$f_{car}(z) = z \exp(z + z^2/4)$ で鋭さが達成されることを示す。
• 関数的不等式を用いて、$\mathcal{S}^{*}_{car}$ が凸関数との畳み込みに関して閉じている条件を確立する。
• $q \prec \phi_{car}$ を満たす関数 $q$ を用いて、$f(z) = z \exp\left(\int_0^z \frac{q(t)-1}{t} dt\right)$ の形で表すことで、$\mathcal{S}^{*}_{car}$ に属する関数の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 族 $\mathcal{S}^{*}_{car}$ と他の星型関数の部分族との間の鋭い包含関係は何か？
• RQ2 $a \in (\phi_{car}(-1), \phi_{car}(1))$ に対して、カーディオイド領域 $\Omega_{car}$ に含まれるような $\{w: |w - a| < r\}$ の形の円板の最大半径 $r > 0$ は何か？
• RQ3 2つの星型関数のハダール積の $\rho$-拡大が $\mathcal{S}^{*}_{car}$ に属する保証があるような $\rho > 0$ は何か？
• RQ4 $\chi(z) = z + z^2/2$ のとき、クラス $\mathcal{F}_1^\chi$, $\mathcal{F}_2^\chi$, および $\mathcal{F}_3^\chi$ の鋭い半径は何か？
• RQ5 部分和および $\mathcal{S}^{*}_{car}$ に属する関数の畳み込みは、従属関係および幾何的性質に関してどのように振る舞うか？

主な発見

• クラス $\mathcal{F}_3^{z/(1-z)^2}$ に対する $\mathcal{S}^{*}_{car}$-半径は $\rho_0 = (4 - \sqrt{13})/3 \approx 0.13148$ であり、$f_0(z) = z(1+z)/(1-z)^3$ で鋭さが達成される。
• $\chi(z) = z + z^2/2$ のとき、$\mathcal{F}_1^\chi$ に対する $\mathcal{S}^{*}_{car}$-半径は $s_1 \approx 0.13148$ であり、方程式 $3r^3 + 6r^2 - 19r + 2 = 0$ の最小の正の根である。
• $\mathcal{F}_2^\chi$ に対する $\mathcal{S}^{*}_{car}$-半径は $s_2 \approx 0.134138$ であり、方程式 $5r^3 - 15r + 2 = 0$ の最小の正の根である。
• $\mathcal{F}_3^\chi$ に対する $\mathcal{S}^{*}_{car}$-半径は $s_3 \approx 0.19028$ であり、方程式 $3r^3 + 2r^2 - 11r + 2 = 0$ の最小の正の根である。
• $f, g \in \mathcal{S}^*$ に対して、関数 $h_\rho(z) = (f * g)(\rho z)/\rho$ はすべての $\rho \leq (4 - \sqrt{13})/3 \approx 0.13148$ に対して $\mathcal{S}^{*}_{car}$ に属する。等号は $f_0(z) = z(1+z)/(1-z)^3$ で達成される。
• $f_{car}(z) = z \exp(z + z^2/4)$ は、鋭い係数の上限を達成する：$|a_2| \leq 1$、$|a_3| \leq 3/4$、$|a_4| \leq 5/12$、かつ $f_{car}(\mathbb{D})$ は円板 $\{|w| < e^{-3/4} \approx 0.47236\}$ を含む。