[論文レビュー] Ind--varieties of generalized flags as homogeneous spaces for classical ind--groups

Ivan Dimitrov, Ivan Penkov|ArXiv.org|Mar 26, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、整数でないインデックスを持つ必要のない鎖として、無限次元ベクトル空間における一般化フラッグを導入し、古典的ind群 $SL(\infty)$, $SO(\infty)$, $Sp(\infty)$ のための同次空間の幾何的実現として、$E$-共通可換一般化フラッグのind多様体を構成する。主な貢献は、一般化フラッグによるこれらのind群の $G/P$ 空間の幾何的分類であり、Picard群の完全な計算と、射影性の基準が得られる：ind多様体は、一般化フラッグが標準フラッグであるときにかつそのときに限り射影的である。

ABSTRACT

The purpose of the present paper is twofold: to introduce the notion of a generalized flag in an infinite dimensional vector space $V$ (extending the notion of a flag of subspaces in a vector space), and to give a geometric realization of homogeneous spaces of the ind--groups $SL(\infty)$, $SO(\infty)$ and $Sp(\infty)$ in terms of generalized flags. Generalized flags in $V$ are chains of subspaces which in general cannot be enumerated by integers. Given a basis $E$ of $V$, we define a notion of $E$--commensurability for generalized flags, and prove that the set $\cFl (\cF, E)$ of generalized flags E$--commensurable with a fixed generalized flag $\cF$ in $V$ has a natural structure of an ind--variety. In the case when $V$ is the standard representation of $G = SL(\infty)$, all homogeneous ind--spaces $G/P$ for parabolic subgroups $P$ containing a fixed splitting Cartan subgroup of $G$, are of the form $\cFl (\cF, E)$. We also consider isotropic generalized flags. The corresponding ind--spaces are homogeneous spaces for $SO(\infty)$ and $Sp(\infty)$. As an application of the construction, we compute the Picard group of $\cFl (\cF, E)$ (and of its isotropic analogs) and show that $\cFl (\cF, E)$ is a projective ind--variety if and only if $\cF$ is a usual, possibly infinite, flag of subspaces in $V$.

研究の動機と目的

• 有限次元ベクトル空間におけるフラッグの古典的概念を、整数でないインデックスを持つものとして、無限次元設定に拡張すること。
• 一般化フラッグを用いて、古典的ind群 $SL(\infty)$, $SO(\infty)$, $Sp(\infty)$ の同次ind空間 $G/P$ を幾何的に構成すること。
• $E$-共通可換性を一般化フラッグ間で定義し、$E$-共通可換フラッグの集合に自然なind多様体構造を導入すること。
• 一般化フラッグのind多様体のPicard群を計算し、その射影性の基準を確立すること。
• 一般化フラッグのind多様体が、かつそのときに限り、標準フラッグ（可能無限大の）であるとき、射影的であることを示すこと。

提案手法

• 無限次元ベクトル空間 $V$ 内の部分空間の鎖として一般化フラッグを導入し、それが整数でないインデックスを持つ場合でも、特定の稠密性および隣接条件を満たすものとする。
• 固定された基底 $E$ を用いて、一般化フラッグ間の $E$-共通可換性を定義し、二つのフラッグが有限次元部分空間のみで異なる場合を指す。
• 固定された一般化フラッグ $\mathcal{F}$ と $E$-共通可換であるすべての一般化フラッグの集合として、ind多様体 $\mathcal{F}\ell(\mathcal{F},E)$ を構成し、有限次元フラッグ多様体の直接極限を用いてind多様体構造を備える。
• すべての同次ind空間 $G/P$（$G = SL(\infty)$, $SO(\infty)$, $Sp(\infty)$ で、固定された分割Cartan部分群を含むパラボリック部分群 $P$）が、ある一般化フラッグ $\mathcal{F}$ に対して $\mathcal{F}\ell(\mathcal{F},E)$ と同型であることを証明する。
• 非退化な対称形式または歪対称形式が存在する場合の完全フラッグを定義し、$SO(\infty)$ および $Sp(\infty)$ の対応するind多様体モデルを構成する。
• 有限次元近似のPicard群への $\varphi_n$ および $\varphi$ の準同型を用いて、$\operatorname{Pic}(\mathcal{F}\ell(\mathcal{F},E))$ および $\operatorname{Pic}(\mathcal{F}\ell(\mathcal{F},w,E))$ を核の解析により計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ind群 $SL(\infty)$, $SO(\infty)$, $Sp(\infty)$ の同次空間は、一般化フラッグのind多様体として幾何的に実現可能か？
• RQ2 $E$-共通可換一般化フラッグのind多様体のPicard群の構造は何か？
• RQ3 一般化フラッグのind多様体が射影的であるための条件は何か？
• RQ4 $E$-共通可換性の概念が、これらのind多様体モデルの分類をどのように可能にするか？
• RQ5 一般化フラッグの幾何的構造と、関連するind多様体の射影性との関係は何か？

主な発見

• 一般化フラッグの $E$-共通可換性を持つind多様体 $\mathcal{F}\ell(\mathcal{F},E)$ は自然なind多様体構造を持ち、$G = SL(\infty)$, $SO(\infty)$, $Sp(\infty)$ のすべての同次ind空間 $G/P$ がこのような空間として現れる。
• $\mathcal{F}\ell(\mathcal{F},E)$ のPicard群は、$\left(\prod_{F' \in \mathcal{F}'} \mathbb{Z} \gamma_{F'} \right) / \left( \mathbb{Z} \prod_{F' \in \mathcal{F}'} \gamma_{F'} \right)$ に同型であり、古典的ケースに類似した構造を反映している。
• 歪対称形式を持つ場合の同型フラッグのind多様体 $\mathcal{F}\ell(\mathcal{F},w,E)$ のPicard群は、$\prod_{F' \in \mathcal{F}', F' \subset \tau(F')} \mathbb{Z} \gamma_{F'}$ に同型であり、ここで $\tau$ は双対性自己同型である。
• $\mathcal{F}\ell(\mathcal{F},E)$ は、$\mathcal{F}$ が標準フラッグ（順序付けられた集合で、連続する後続および先行要素を持つ）であるときにかつそのときに限り射影的である。
• $\mathcal{F}$ が有限長である場合、$\mathcal{F}\ell(\mathcal{F},E)$ は、長さが異なる任意の一般化フラッグ $\mathcal{G}$ に対して $\mathcal{F}\ell(\mathcal{G},L)$ と同型でない。これはPicard群が同型でないためである。
• $\mathcal{F} = \{0 \subset F \subset V\}$ で、$F$ が無限次元かつ $V$ における余次元が無限大である場合、ind多様体 $\mathcal{F}\ell(\mathcal{F},E)$ は任意のグラスマン多様体 $Gr(l;V)$ と同型でない。