[論文レビュー] Independence of the existence of Pitowsky spin models

Ilijas Farah, Menachem Magidor|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ベル型のno-go定理を回避する量子スピンへの値を割り当てる関数（ピトウスキー スピン モデル）の存在が、選択公理を含むツェルメロ＝ラーメンクス集合論（ZFC）において独立であることを確立する。このようなモデルが連続体が実数値可測基数であるか、あるいはランダム実数モデルにおいては存在しないことを示し、それらの存在が基礎的な集合論的仮定に依存することを示しており、基礎的物理学と集合論の接点を示している。

ABSTRACT

In 1982 I. Pitowsky used Continuum Hypothesis to construct hidden variable models for spin-1/2 and spin-1 particles in quantum mechanics. We show that the existence of Pitowsky models is independent from ZFC.

研究の動機と目的

• ピトウスキー スピン関数—スピン1/2粒子に値を割り当てる非可測関数—が標準的集合論内に存在できるかどうかを調査すること。
• このような関数の存在が、集合論の標準的公理系であるZFCに対して独立であるかどうかを特定すること。
• この独立性の基礎的意味が、特に隠れ変数理論とコンテキスチュアルリティに関して量子力学に与える影響を探索すること。
• σ加法的拡張がℝの冪集合上に存在するという仮定のもとで、ピトウスキー関数が存在できないことを示すこと。
• ZFCに対して相対的に整合的であることを確認し、ランダム実数モデルなどのモデルを用いて、これらの関数の非存在を示すこと。

提案手法

• 大円とコサイン重み付き平均を含む特定の対称性および積分的条件を満たす関数 F: S² → [-1,1] としてのピトウスキー スピン 関数の概念を用いる。
• 測度論的技法を適用し、ℝの冪集合上にσ加法的拡張が存在するならば、任意のピトウスキー関数はボレル可測であることを示す。
• フレドリックとフリーマンの測度拡張に関する結果およびランダム実数モデルを用いて、これらのモデル内ではすべてのピトウスキー関数がボレルであることを示し、したがって非可測である必要があるという条件を満たせないことを示す。
• 関数のP-D近似の概念を用い、フィルターDが外測度1の集合の族である場合に、ある関数がボレル関数によって近似されるならば、その関数自体もボレルであることを示す。
• 値が{0,1}であるKochen-Specker型関数（KSP関数）を分析し、同じ仮定のもとでその存在が排除されることを証明する。
• ポルタマンテオの定理および連続写像による押し出し測度のボレル可測性を用いて、回転群とハール測度を含む積分のボレル性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ピトウスキー スピン 関数の存在はZFCに対して独立であるか？
• RQ2 Lebesgue測度のℝの冪集合へのσ加法的拡張の存在というより強い集合論的仮定のもとで、このような関数の存在が排除できるか？
• RQ3 ZFCのランダム実数モデルにおいて、ピトウスキー 関数の非存在は成立するか？
• RQ4 基礎的集合論的選択が、量子力学における非可測な隠れ変数モデルの構成可能性にどの程度影響を与えるか？
• RQ5 KSP関数（Kochen-Speckerコンテキストゥアルリティを破る関数）の存在も同様にZFCに対して独立であると示せるか？

主な発見

• ℝの冪集合上にσ加法的拡張が存在するならば、ピトウスキー スピン 関数は存在できない。
• 連続体が実数値可測基数（大基数公理）であると仮定すると、ピトウスキー 関数は存在しない。
• 連続体が実数値可測基数であると仮定すると、ピトウスキー 関数は存在しない。
• フィルターDが外測度1の集合の族である場合に、ある関数がボレル関数によってP-D近似されるならば、その関数自体もボレルでなければならない。これは非可測なピトウスキー 関数の存在を排除する。
• 値が{0,1}であるKSP関数（Kochen-Speckerコンテキストゥアルリティをほとんど破る関数）も、同じ仮定のもとで存在できない。これらもボレルでなければならない。
• KSP関数Fに対する積分 I_{a,b,c}(F) は (5 - F(a))/8 に等しく、Fがボレルでない場合にこの式から矛盾を導くことで、Fがボレルであることを証明する。