[論文レビュー] Independent Set Size Approximation in Graph Streams

Graham Cormode, Jacques Dark+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、グラフにおける最大独立集合のサイズの下界であるCaro-Wei評価β(G)を近似する、空間効率の良いストリーミングアルゴリズムを提示する。頂点到着順では多対数空間で正確な近似が達成可能である一方、任意の辺到着順では定数倍近似のためのΩ(n/(βc²))の空間下界を証明し、ストリーミングモデルにおける計算可能性の限界を明確にしている。

ABSTRACT

We study the problem of estimating the size of independent sets in a graph $G$ defined by a stream of edges. Our approach relies on the Caro-Wei bound, which expresses the desired quantity in terms of a sum over nodes of the reciprocal of their degrees, denoted by $β(G)$. Our results show that $β(G)$ can be approximated accurately, based on a provided lower bound on $β$. Stronger results are possible when the edges are promised to arrive grouped by an incident node. In this setting, we obtain a value that is at most a logarithmic factor below the true value of $β$ and no more than the true independent set size. To justify the form of this bound, we also show an $Ω(n/β)$ lower bound on any algorithm that approximates $β$ up to a constant factor.

研究の動機と目的

• 大きなグラフにおいて辺が逐次的に到着する際の最大独立集合のサイズを推定する空間効率の良いストリーミングアルゴリズムの設計を目的とする。
• NP困難に計算可能な独立数α(G)の代替として、計算が容易なβ(G) = Σ_v 1/(deg(v)+1) を用いる。
• 近似精度、空間使用量、到着順モデル（任意 vs. 頂点グループ化された辺到着）の間のトレードオフを特定することを目的とする。
• 定数倍近似におけるβ(G)の近似に必要な最小空間を同定し、ストリーミングアルゴリズムの本質的限界を示すこと。
• 頂点到着順（各ノードの辺が一括で到着）では、より良い近似が可能であることを示し、多対数空間アルゴリズムの実現を可能にする。

提案手法

• 本稿では、α(G) ≥ β(G) を満たすことが知られている独立数α(G)の組合せ的代理としてCaro-Wei評価β(G)を用いる。
• 任意の辺到着順では、リザーバー・サンプリングと周波数モーメント推定を用いて、β(G)を近似し、β(G)の下界に依存した空間量を用いる。
• 頂点到着順では、各ノードとその隣接辺を同時に処理することで、多対数空間でより高精度な近似が可能になる。
• 空間下界を証明するために、通信複雑度問題Disjointness（DISJ）への還元に依存しており、任意のc-近似がΩ(n/(βc²))の空間を必要とする。
• 構成では、集合の共通部分集合に基づいてβ(G)の差を強調する構造的クラスタと孤立頂点を有するグラフ族を用い、DISJへの還元を可能にする。
• 分析では、X ∩ Y = ∅（β(G)が大きい）とX ∩ Y ≠ ∅（β(G)が小さい）のケースを区別し、入力の区別を可能にするギャップを生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Caro-Wei評価β(G)は、特に多対数空間において、グラフストリームモデルで効率的に近似可能か？
• RQ2 辺の到着順序（任意 vs. 頂点グループ化）は、β(G)の推定における空間-近似トレードオフにどのように影響するか？
• RQ3 任意の辺到着順モデルにおいて、β(G)の定数倍近似に必要な最小空間は何か？
• RQ4 Caro-Wei評価は、大規模グラフにおけるサブ線形空間で最大独立集合サイズを近似するために用いることができるか？
• RQ5 ストリーミングモデルにおいて、β(G)の近似精度に根本的な限界は存在するか？その限界は何か？

主な発見

• 頂点到着順モデルでは、多対数空間を用いてβ(G)をO(log n)の要因で近似するアルゴリズムが提示され、真のβ(G)より最大で対数的要因だけ下回る近似が達成される。
• 任意の辺到着順では、β(G)の下界が既知の場合、空間O(β/ε²)でβ(G)の(1+ε)-近似が達成され、βが大きいほど性能が向上する。
• 任意の定数倍c-近似を実現するアルゴリズムに対して、タイトなΩ(n/(βc²))の空間下界が証明され、βに依存する空間の依存性が対数的要因を除いて最適であることが示される。
• 下界はDisjointness問題への還元により確立され、β(G) ≈ z と β(G) ≈ z(2c²+1) のグラフを区別するにはΩ(n/(zc²))ビットの空間が必要であることが示される。
• 結果として、β(G)は頂点到着順では良好に近似可能であるが、任意の辺到着順モデルではβ(G)が小さい場合に特に強い空間制約が生じることを示している。
• 本稿では、Caro-Wei評価がストリーミンググラフにおける独立集合サイズの代替として実用的かつ解析可能なプロキシであることを示しており、効率的アルゴリズムと強力な下界両方を可能にしている。