[論文レビュー] Index obstructions to positive scalar curvature via submanifolds

Rudolf Zeidler|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、$N \to M \to B$ が $B$ が非一様的であり、$\pi_1(B)$ が有限の漸近的次元を持つファイバー束であるとき、スピン部分多様体 $N$ のローゼンバーグ指数が、周囲のスピン多様体 $M$ における正のスカラー曲率を妨げるという事実を確立する。著者らは、マルチ分割多様体指数定理の新規な変種を用いて、この妨害要因が余次元1の場合でさえ成り立つことを証明し、また $\hat{A}$- genus を用いて基本的な妨害要因を同定する。

ABSTRACT

We exhibit geometric situations, where higher indices of the spinor Dirac operator on a spin manifold $N$ are obstructions to positive scalar curvature on an ambient manifold $M$ that contains $N$ as a submanifold. In the main result of this note, we show that the Rosenberg index of $N$ is an obstruction to positive scalar curvature on $M$ if $N \hookrightarrow M woheadrightarrow B$ is a fiber bundle of spin manifolds with $B$ aspherical and $\pi_1(B)$ of finite asymptotic dimension. The proof is based on a new variant of the multi-partitioned manifold index theorem which might be of independent interest. Moreover, we present an analogous statement for codimension one submanifolds. We also discuss some elementary obstructions using the $\hat{A}$-genus of certain submanifolds.

研究の動機と目的

• スピン接続ディラック作用素の部分多様体 $N$ における高次インデックスが、周囲多様体 $M$ における正のスカラー曲率を妨げる幾何的条件を特定すること。
• $N \to M \to B$ がスピン多様体のファイバー束であり、$B$ が非一様的で $\pi_1(B)$ が有限の漸近的次元をもつとき、$N$ のローゼンバーグ指数が妨害要因であることを確立すること。
• 妨害結果を余次元1の部分多様体にまで拡張すること。
• 部分多様体の $\hat{A}$- genus を用いて、基本的な妨害要因を検討すること。

提案手法

• 非一様的底空間をもつファイバー束に特化した、マルチ分割多様体指数定理の新規な変種を開発すること。
• ファイバー束構造 $N \to M \to B$ の文脈において、部分多様体 $N$ にローゼンバーグ指数理論を適用すること。
• $\pi_1(B)$ の有限漸近的次元を用いて、指数がファイバー射影のもとでどのように振る舞うかを制御すること。
• $B$ の非一様性を活用して、基本群が指数クラスに一貫した方法で作用することを保証すること。
• 主定理をこの幾何的設定に適応することで、余次元1における指数妨害を分析すること。
• 部分多様体における正のスカラー曲率の二次的で基本的な妨害要因として、$\hat{A}$- genus を用いること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分多様体 $N$ のローゼンバーグ指数が、周囲多様体 $M$ における正のスカラー曲率を妨げる幾何的条件は何か？
• RQ2 ファイバー束 $N \to M \to B$ の底空間 $B$ の位相が、正のスカラー曲率への指数論的妨害にどのように影響するか？
• RQ3 主な妨害結果を余次元1の部分多様体にまで拡張できるか？
• RQ4 $\hat{A}$- genus は、部分多様体における正のスカラー曲率の妨害を検出する上でどのような役割を果たすか？
• RQ5 $\pi_1(B)$ の有限漸近的次元は、指数妨害の妥当性にどのように寄与するか？

主な発見

• $N \to M \to B$ がスピン多様体のファイバー束であり、$B$ が非一様的で $\pi_1(B)$ が有限の漸近的次元をもつとき、部分多様体 $N$ のローゼンバーグ指数は、$M$ における正のスカラー曲率を妨げる。
• マルチ分割多様体指数定理の新規な変種が開発され、主要な技術的道具として用いられ、インデックス理論における独立的な応用が期待される。
• 妨害結果が余次元1の部分多様体の場合にまで拡張され、インデックス妨害の幾何的適用範囲が広がった。
• 特定の部分多様体の $\hat{A}$- genus を用いて、正のスカラー曲率に対する基本的で粗い不変量としての妨害要因が同定された。
• $B$ の非一様性と $\pi_1(B)$ の有限漸近的次元は、インデックス妨害が適切に定義されかつ非自明であることを保証する重要な位相的条件である。