[論文レビュー] Positive Scalar Curvature on Noncompact Manifolds and the Liouville Theorem

Martin Lesourd, Ryan Unger+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、最小超曲面およびMOTS（まばらに外側に捕獲された表面）を用いて、次元 $ n < 8 $ の非コンパact多様体上に完全なリーマン計量で正のスカラー曲率をもつものが存在しないことを示す位相的障害を確立する。$ \mathcal{C}^n \# X^n $ の形をした多様体は、やや弱い幾何的条件下ではこのような計量をもてないことを証明し、また、局所的に共形平坦な多様体で $ R \geq 0 $ を満たすものについてのリーマン予想が、この存在しない結果から従うことを示し、$ M^n $ が $ (\lambda,\rho) $-収縮可能である場合、次元3および $ 4 \leq n \leq 6 $ でこれを解決する。

ABSTRACT

Using minimal hypersurfaces, we obtain topological obstructions to admitting complete metrics with positive scalar curvature on a given class of non-compact n-manifolds with n less than 8. We show that the Liouville theorem for a locally conformally flat n-manifold of non-negative scalar curvature follows from the impossibility of there being a positive scalar curvature metric on its connect sum with the n-torus. With the recent work of Chodosh-Li, the Liouville theorem is now proved in all remaining cases. Finally, using MOTS instead of minimal hypersurfaces, we show an Initial Data Set version of these results with the Dominant Energy Scalar appearing instead of positive scalar curvature.

研究の動機と目的

• 次元 $ n < 8 $ の非コンパクト多様体上に完全なリーマン計量で正のスカラー曲率 $ R > 0 $ が存在するための位相的障害を確立すること。
• 完全な計量で正のスカラー曲率をもつものが存在しないという事実が、非負のスカラー曲率 $ R \geq 0 $ をもつ局所的に共形平坦な多様体についてのリーマン予想が $ T^n \# M^n $ 上に成立することを示すこと。
• 一般相対性理論の初期データセットにおいて、スカラー曲率 $ R $ を支配的エネルギースカラー $ \mu - |J| $ に置き換え、最小超曲面の代わりにMOTSを用いることで、これらの結果を一般化すること。
• 最近のチョドーシュ–リの研究に基づき、$ (\lambda,\rho) $-収縮可能な条件のもとで、次元3および $ 4 \leq n \leq 6 $ におけるリーマン予想を解決すること。

提案手法

• 最小超曲面技術を用いて、最小化超曲面の列 $ \{\Sigma_i\} $ を構成し、それらが局所的 $ C^\infty $ 収束して極限超曲面 $ \Sigma $ を得ることを証明する。
• $ (\lambda,\rho) $-収縮可能性を課すことにより、極限超曲面 $ \Sigma $ がコンパクトであることを保証し、スコーネ–ヤウの安定性議論を適用可能にする。
• ほぼ埋め込まれたMOTSに対して対称化された安定性を適用し、$ \mathbb{C} $ に微分同相な非コンパクト成分が存在しないことを、 genus およびホモロジーの議論によって除外する。
• 摂動とグルーリング技術を用いる：$ \Sigma_i \cap \hat{Y} $ を、$ \mathscr{S} $ に有界なディスクを加えたり引いたりすることで変形し、ホモロジー的に外側に捕獲された $ T^2_+ $ と矛盾する genus-0 サイクルを生成する。
• MOTSに対して片側最大原理と、一様な面積および曲率の上限をもつほぼ埋め込まれたMOTSの列のコンパクトネス定理を用いる。
• 初期データセットの設定において、スカラー曲率 $ R $ を支配的エネルギースカラー $ \mu - |J| $ に置き換え、より広い物理的および幾何的問題のクラスに一般化された結果を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $ n < 8 $ の $ \mathcal{C}^n \# X^n $ の形をした非コンパクト多様体上に、完全な計量で正のスカラー曲率 $ R > 0 $ が存在するか。
• RQ2 $ T^n \# M^n $ 上にこのような計量が存在しないことは、非負のスカラー曲率 $ R \geq 0 $ をもつ局所的に共形平坦な多様体についてのリーマン予想を示唆するか。
• RQ3 一般相対性理論の初期データセットにおいて、$ R $ を支配的エネルギースカラー $ \mu - |J| $ に置き換えた場合、非存在性の結果を拡張できるか。
• RQ4 $ (\lambda,\rho) $-収縮可能性条件は必要か、それともすべての $ n < 8 $ に拡張可能か。
• RQ5 スカラー曲率 $ R > 0 $ のための位相的障害を用いて、$ R \geq 0 $ の剛性結果（例えばリッチ平坦性）を示せるか。

主な発見

• 次元 $ n = 3 $ または $ 4 \leq n \leq 7 $ で $ M^n $ が $ (\lambda,\rho) $-収縮可能な場合、$ \mathcal{C}^n \# X^n $ の形をした多様体は、完全で滑らかな計量で $ R > 0 $ をもつことはできない。
• このような多様体に完全で滑らかな計量で $ R \geq 0 $ が存在するならば、それはリッチ平坦でなければならない。
• $ T^n \# M^n $ 上に完全な計量で $ R > 0 $ が存在しないことは、非負のスカラー曲率 $ R \geq 0 $ をもつ局所的に共形平坦な多様体についてのリーマン予想を示し、$ M^n $ が $ (\lambda,\rho) $-収縮可能な場合、次元3および $ 4 \leq n \leq 6 $ でこれを解決する。
• 本稿と最近のチョドーシュ–リの研究の組み合わせにより、次元 $ n \geq 3 $ 全てでリーマン予想は完全に解決された。
• 初期データセットの設定において、$ R $ を $ \mu - |J| $ に置き換えた場合、$ \mu - |J| > 0 $ の非存在性結果は、最小超曲面の代わりにMOTSを用いることで同様に成り立つ。
• コンパクトネス定理における極限MOTSは、コンパクト（$ S^2 $ に微分同相）または非コンパクト（$ \mathbb{C} $ に微分同相）のいずれかであるが、後者は位相的および幾何的制約によって除外され、存在すれば矛盾を引き起こす。