[論文レビュー] Indivisibility of Heegner points in the multiplicative case

Christopher Skinner, Wei Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 29

ひとこと要約

この論文は、$p \geq 5$ で分裂乗法的還元をもつ楕円曲線に対して、導来ヘーガークラスの $p$-可除性を証明し、古典的理論が適用できない非通常の場合にコリヴァギンの予想を拡張する。$p$-分裂性、$E[p]$ の非可約性、非消滅 $\mathfrak{L}$-不変量という条件下で、著者らはコリヴァギン系の非消滅を確立し、これによりランク1のバーチ・スウィンナートン＝ダイヤー予想とタウゼ・シャファレヴィッチ群の有限性が得られる。

ABSTRACT

For certain elliptic curves $E$ over $\mathbb{Q}$ with multiplicative reduction at a prime $p\geq 5$, we prove the $p$-indivisibility of the derived Heegner classes defined with respect to an imaginary quadratic field $K$, as conjectured by Kolyvagin. The conditions on $E$ include that $E[p]$ be irreducible and not finite at $p$ and that $p$ split in the imaginary quadratic field $K$, along with certain $p$-indivisibility conditions on various Tamagawa factors. The proof extends the arguments of the second author for the case where $E$ has good ordinary reduction at~$p$.

研究の動機と目的

• $p \geq 5$ で分裂乗法的還元をもつ楕円曲線に対して、古典的理論が適用できない非通常の場合に、コリヴァギンの $p$-可除性に関する予想を導来ヘーガークラスへ拡張すること。
• シムーラ曲線上のヘーガー点から生じる $H^1(K, E[p])$ 内のコhomology類のコリヴァギン系の非消滅を、乗法的還元の場合に確立すること。
• 適切な $p$-可除性および $\mathfrak{L}$-不変量条件の下で、解析的ランク1のバーチ・スウィンナートン＝ダイヤー予想とタウゼ・シャファレヴィッチ群の有限性を証明すること。

提案手法

• モジュラー形式のレベル上昇技術を用いて、非通常設定におけるコリヴァギン系のコhomological 機構を適応する。
• イハラの補題と多重性1の結果を用いて、新形式とその関連するガロア表現間の合同関係を制御する。
• $\mathfrak{L}$-不変量条件を用いて、合同な新形式における $\mathfrak{L}$-不変量の非消滅を保証し、コリヴァギン系の制御に不可欠な技術的条件を満たす。
• 特別値の公式と周期比較を用いて、$p$-進 $L$-関数値をタマガワ因子とレギュレーター項に関連付ける。
• 局所ガロア理論と $p$-進ホッジ理論を用いて、ガロア表現に関する仮定（非可約性、$p$ での非有限性）を検証し、問題をそれらの性質の確認に還元する。
• グロスの周期と合同数を介して、$p$-進 $\mathfrak{L}$-不変量とタマガワ因子の $p$-可除性との間の明確な関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円曲線 $E$ が $p$ で分裂乗法的還元をもち、$E[p]$ が $p$ で有限でないとき、ヘーガークラスのコリヴァギン系は非ゼロのままであるか？
• RQ2 どのような条件下で、通常の場合の拡張として、乗法的還元の場合における導来ヘーガークラスの $p$-可除性が保たれるか？
• RQ3 解析的ランク1かつ $p$ で分裂乗法的還元をもつ楕円曲線に対して、バーチ・スウィンナートン＝ダイヤー公式の $p$-部が確立可能か？
• RQ4 $E$ における $\mathfrak{L}$-不変量条件が、合同な新形式における $\mathfrak{L}$-不変量の非消滅をどのように保証し、コリヴァギン系が非ゼロとなるか？
• RQ5 乗法的還元の場合に、$p$-進 $\mathfrak{L}$-不変量とタマガワ因子の $p$-可除性との間の正確な関係は何か？

主な発見

• 定理11.1の仮定（$K$ での $p$-分裂性、$E[p]$ の非可約性、$\mathfrak{L}$-不変量の非消滅）の下で、コリヴァギン系 $\kappa^\infty$ は非ゼロである。
• 乗法的還元の場合における導来ヘーガークラスの $p$-可除性が確立され、この設定におけるコリヴァギンの予想が確認された。
• $E$ の $p$-進 $\mathfrak{L}$-不変量が $p\mathbb{Z}_p^\times$ に属することは、合同な新形式における $\mathfrak{L}$-不変量の非消滅を保証し、重要な技術的条件を満たす。
• 定理1.1は、$E$ の解析的ランクとモーデル・ヴェイユランクがともに1であり、$\cyr X(E/\mathbb{Q})$ が有限であることを示している。この結果は、提示された $p$-可除性および $\mathfrak{L}$-不変量条件の下で成り立つ。
• 定理1.2は、ランク1におけるバーチ・スウィンナートン＝ダイヤー公式の $p$-部を確認する：$\mathrm{ord}_p\left(\frac{L'(E,1)}{\Omega_E \cdot \mathrm{Reg}(E/\mathbb{Q})}\right) = \mathrm{ord}_p\left(\#\cyr X(E/\mathbb{Q}) \cdot \prod_{\ell\mid N} c_\ell\right)$。
• 定理12.1は、$\mathrm{ord}(\kappa^\infty) = \min\{r_p^+, r_p^\} - 1$ を明示する公式を提示し、コリヴァギン系の消滅次数が $K$ 上のセレマー群の $p$-コランクと関連づけられる。