[論文レビュー] Induction, Coinduction, and Fixed Points: A Concise Survey (and Tutorial)

Moez A. AbdelGawad|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2018

Logic, programming, and type systems被引用数 1

ひとこと要約

本調査は、順序理論、集合論、型理論、一階論理、および圏論の分野において、不動点、代数、余代数を通じて、帰納と余帰納の構造的類似性と相違点を明らかにすることで、帰納と余帰納を統一する。また、形式的体系およびプログラミング言語におけるこれらの原理を統一するための圏論的基礎として、モノイドと余モノイドを提唱する。

ABSTRACT

In this survey article (which hitherto is an ongoing work-in-progress) we present the formulation of the induction and coinduction principles using the language and conventions of each of order theory, set theory, programming languages' type theory, first-order logic, and category theory, for the purpose of examining some of the similarities and, more significantly, the dissimilarities between these various mathematical disciplines, and hence shed some light on the precise relation between these disciplines. Towards that end, in this article we discuss plenty of related concepts, such as fixed points, pre-fixed points, post-fixed points, inductive sets and types, coinductive sets and types, algebras and coalgebras. We conclude the survey by hinting at the possibility of a more abstract and unified treatment that uses concepts from category theory such as monads and comonads.

研究の動機と目的

• 帰納と余帰納の概念的および形式的関係が、複数の数学的枠組みにおいてどのように関係しているかを明確化すること。
• 順序理論、集合論、型理論、および圏論の間で共通する構造——特に不動点、前不動点、後不動点——を特定すること。
• プログラミング言語および形式的論理における帰納的・余帰納的型や集合の定義と使用法を検討すること。
• 代数と余代数が、帰納的および余帰納的推論を統一する役割を果たす方法を強調すること。
• 将来の形式的体系の基盤として、モノイドと余モノイドを用いた高階の圏論的統一を提言すること。

提案手法

• 特にKnaster-Tarskiの定理と不動点理論を通じて、順序理論の言語を用いて帰納と余帰納を形式化すること。
• 型理論および圏論において、帰納的・余帰納的型を初期代数と最終余代数として表現すること。
• 一階論理、集合論、およびプログラミング言語の型システムの間で不動点構成をマッピングすること。
• 前不動点と後不動点を用いて、それぞれ帰納的集合と余帰納的集合を特徴付けること。
• 帰納的構造に対してはモノイド、余帰納的構造に対しては余モノイドを含む圏的構成を用いて、推論原理を統一すること。
• 分野間の定式化を比較することで、再帰と余再帰の処理における類似点と根本的な相違点を明らかにすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 帰納と余帰納は、順序理論、集合論、型理論、一階論理、および圏論においてどのように現れるか？
• RQ2 異なる数学的枠組みにおいて、帰納的型、代数、および不動点の間で共通する構造的類似性は何か？
• RQ3 前不動点と後不動点は、帰納的および余帰納的推論とどのように対応するか？
• RQ4 代数と余代数は、帰納的および余帰納的構成を統一する形式的枠組みとしてどのように機能するか？
• RQ5 モノイドと余モノイドは、形式的体系における帰納と余帰納の抽象的統一に、どのような役割を果たすか？

主な発見

• 帰納と余帰納は、形式的に双対な概念であり、帰納は最小不動点に基づき、余帰納は最大不動点に基づく。
• Knaster-Tarskiの定理は、完全なラティスにおける不動点の存在と一意性を保証する基盤的道具である。
• 帰納的型は初期代数に対応し、余帰納的型は最終余代数に対応するため、圏論的統一が可能になる。
• 前不動点は帰納的集合を特徴づけ、後不動点は余帰納的集合を特徴づけ、論理的特徴づけが明確になる。
• 圏論におけるモノイドと余モノイドの使用により、帰納的および余帰納的推論の高階抽象化が可能になる。
• 本調査は、形式的体系の差はあれ、帰納と余帰納の核心的原則が、分野を越えて構造的に関連していることを示している。