[論文レビュー] Induction for Banach algebras, groupoids and KK^ban

Walther Paravicini|ArXiv.org|Feb 24, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般化された準同型の下で、Banach代数および群コホーショングループのLafforgueの$<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>\operatorname{KK}^{\operatorname{ban}}</math>$理論の函子的性質を確立し、同値な局所的にコンパクトなハウスドルフ群コホーショングループはMorita同値な$L^1$-代数を持つこと、およびBanach代数係数を用いたBost予想が群コホーショングループの同値関係に関して不変であることを証明する。主な結果は、誘導されたBanach代数の$\operatorname{K}$-理論を結ぶ可換図式であり、Bost予想が1つの群コホーショングループに対して成り立つのは、任意の同値な群コホーショングループに対しても成り立つときである。

ABSTRACT

Given two equivalent locally compact Hausdorff groupoids, the Bost conjecture with Banach algebra coefficients is true for one if and only if it is true for the other. This also holds for the Bost conjecture with C*-coefficients. To show these results, the functoriality of Lafforgue's KK-theory for Banach algebras and groupoids with respect to generalised morphisms of groupoids is established. It is also shown that equivalent groupoids have Morita equivalent L^1-algebras (with Banach algebra coefficients).

研究の動機と目的

• 一般化された準同型の下で、Banach代数および群コホーショングループの$\operatorname{KK}^{\operatorname{ban}}$-理論の函手的性質を確立すること。
• $L^1$-代数からのMorita同値性を、群コホーショングループ代数の任意の無条件的完備化へ一般化すること。
• 局所的にコンパクトなハウスドルフ群コホーショングループの同値関係に関して、Banach代数係数を用いたBost予想が不変であることを示すこと。
• 誘導と降下を介して、位相的$K$-理論とBanach代数の$K$-理論を結ぶ可換図式を構成すること。
• 既知のBost予想に関する結果を、Banach代数係数へと拡張し、文献における空白を埋めること。

提案手法

• 群コホーショングループのBanach代数およびその無条件的完備化$\mathcal{A}(\mathcal{G})$の体系的理論を構築する。
• $\mathcal{H}$-Banach代数$B$に対して、$\mathcal{H}$-Banach代数$B$から$\mathcal{G}$-Banach代数を構成する誘導函手$\operatorname{Ind}_\mathcal{H}^\mathcal{G} B$を導入する。
• Morita同値性により、$\mathcal{A}(\mathcal{H}, B) \sim_{\text{M}} \mathcal{A}(\mathcal{G}, \operatorname{Ind}_\mathcal{H}^\mathcal{G} B)$を証明する。
• 図式の可換性の証明において、切断関数と射影を用いて、$\mathcal{A}(\mathcal{H}, \mathcal{C}_0(X|_{\mathcal{H}^{(0)}}))$と$\mathcal{A}(\mathcal{L}, \mathcal{C}_0(X))$を関連付ける。
• 両変数における$\operatorname{KK}^{\operatorname{ban}}$-理論の函手的性質を適用し、主要な図式の可換性を検証する。
• C^*代数のBostアセンブリーマップが$\operatorname{K}^{\operatorname{top}2,\operatorname{ban}}$を経由して因数分解されることを活用し、結果をC^*係数へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Banach代数係数を用いたBost予想は、群コホーショングループの同値関係に関して不変のままであるか？
• RQ2 群コホーショングループの一般化された準同型の下で、Banach代数の$\operatorname{KK}^{\operatorname{ban}}$-理論を函手的にすることができるか？
• RQ3 同値な群コホーショングループの$L^1$-代数間のMorita同値性は、一般の無条件的完備化へ拡張可能か？
• RQ4 Banach代数的$K$-理論の文脈において、誘導と降下はどのように作用するか？
• RQ5 切断関数と射影の持ち上げを用いて、$K$-理論図式の可換性を確立できるか？

主な発見

• Banach代数係数を用いたBost予想が群コホーショングループ$\mathcal{G}$に対して成り立つのは、任意の同値な群コホーショングループ$\mathcal{H}$に対しても成り立つときであり、これは$\operatorname{KK}^{\operatorname{ban}}$-理論が同値関係に関して不変であるためである。
• 誘導された$\mathcal{G}$-Banach代数$\operatorname{Ind}_\mathcal{H}^\mathcal{G} B$により、$\mathcal{A}(\mathcal{H}, B)$と$\mathcal{A}(\mathcal{G}, \operatorname{Ind}_\mathcal{H}^\mathcal{G} B)$の間でMorita同値が得られ、$K$-理論が同型であることが示される。
• 位相的$K$-理論$\operatorname{K}^{\operatorname{top}2,\operatorname{ban}}_*(\mathcal{H}, B)$、$\operatorname{K}_*(\mathcal{A}(\mathcal{H}, B))$、および$\operatorname{K}_*(\mathcal{A}(\mathcal{G}, \operatorname{Ind}_\mathcal{H}^\mathcal{G} B))$を結ぶ可換図式は、Morita同値に沿った引き戻しと押し出しにより確立される。
• 図式の左縦矢印は、$\operatorname{KK}^{\operatorname{ban}}$-理論が群コホーショングループの同値関係に関して不変であることから、同型である。
• C^*代数係数を用いたBost予想も、群コホーショングループの同値関係に関して不変であり、これはBanach代数のバージョンを経由して因数分解されるためである。
• 証明は、$X|_{\mathcal{H}^{(0)}}$から$X$への切断関数の拡張を拡張し、関連する射影が包含写像$\varphi_{{\mathcal{C}}_0(X)}$に関して保存されることを示すことに依存している。