[論文レビュー] INERTIAL MANIFOLDS FOR CERTAIN SUB-GRID SCALE -MODELS OF TURBULENCE

Mohammad Abu Hamed, Yanqiu Guo+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2014

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 45被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2次元空間における乱流の2つの小スケールモデル—簡略化された Bardina モデルと修正された Leray-α モデル—に対して、慣性多様体の存在を証明する。有限次元で滑らかで不変な多様体がすべての軌道を指数関数的に吸引することを確立することで、これらのモデルの長期的ダイナミクスが、有限次元の常微分方程式系によって支配されることを示しており、結果的に小スケールの挙動が大スケールのダイナミクスによって効果的にパラメータ化されることを示している。

ABSTRACT

In this note we prove the existence of an inertial manifold, i.e., a global invariant, exponentially attracting, finite-dimensional smooth manifold, for two different sub-grid scale �-models of turbulence: the simplified Bardina model and the modified Leray-� model, in two-dimensional space. That is, we show the existence of an exact rule that parameterizes the dynamics of small spatial scales in terms of the dynamics of the large ones. In particular, this implies that the long-time dynamics of these turbulence models is equivalent to that of a finite-dimensional system of ordinary differential equations.

研究の動機と目的

• 2次元空間における乱流の小スケールモデルに対して、慣性多様体の存在を確立すること。
• これらのモデルの長期的ダイナミクスが、有限次元の常微分方程式系によって完全に記述できることを示すこと。
• 大スケールのダイナミクスのみを用いて、小スケール乱流を厳密に数学的にパラメータ化すること。

提案手法

• 2次元における簡略化された Bardina モデルの長期的挙動を分析するため、力学系理論の応用。
• スペクトル法とエネルギー推定を用いて、簡略化された Bardina モデルにおける非線形項を制御する。
• 正則化性の性質を活用して滑らかさとスペクトル減衰を保証するため、解析を修正された Leray-α モデルへ拡張する。
• スペクトルギャップ条件を用いて、グローバルで不変で、有限次元的かつ指数関数的に吸引する多様体の存在を証明する。
• 多様体が滑らかでグローバルに定義されていることを確認し、系の漸近的ダイナミクスを的確に捉えられることを保証する。
• 近似慣性多様体の手法を基盤としながら、正確な慣性多様体の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 簡略化された Bardina モデルは2次元空間において慣性多様体を有するか？
• RQ2 修正された Leray-α モデルの長期的ダイナミクスは、有限次元系に簡略化可能か？
• RQ3 これらのモデルに対して、滑らかで不変で指数関数的に吸引する多様体が存在し、小スケールのダイナミクスが大スケールのものによってパラメータ化可能か？

主な発見

• 簡略化された Bardina モデルは2次元空間において慣性多様体を有し、長期的ダイナミクスが有限次元的であることを保証する。
• 慣性多様体はグローバルに不変で指数関数的に吸引的であり、すべての解が指数関数的レートで多様体に収束することを意味する。
• 慣性多様体上でのダイナミクスは、有限次元の常微分方程式系によって支配され、長期的挙動の解析が簡略化される。
• 慣性多様体の存在は、大スケール変数を用いて小スケール効果を数学的に厳密にパラメータ化する基盤を提供する。
• 結果は、簡略化された Bardina モデルおよび修正された Leray-α モデルの両方に対して成立し、慣性多様体理論がこれらの乱流モデルに拡張可能であることを示している。
• 多様体は滑らかで有限次元的であり、これらのモデルにおける乱流の複雑なダイナミクスが、長期的には実質的に低次元的であることを確認している。