[論文レビュー] Inference and testing for structural change in time series of counts model

Paul Doukhan, William Kengne|arXiv (Cornell University)|May 8, 2013

Statistical Methods and Inference参考文献 32被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、整数時系列のポアソン自己回帰モデルにおける構造的変化の尤度に基づく推論および変化点検定を提案する。リプシッツ条件の下で、最尤推定量の一致性と漸近正規性を確立し、帰無仮説（変化なし）の下での2つの尤度比検定の漸近的分布を導出し、度数データ過程におけるパラメータシフトの有効な推論を可能にする。

ABSTRACT

We consider here together the inference questions and the change-point problem in Poisson autoregressions (see Tjøstheim, 2012). The conditional mean (or intensity) of the process is involved as a non-linear function of it past values and the past observations. Under Lipschitz-type conditions, it is shown that the conditional mean can be written as a function of lagged observations. In the latter model, assume that the link function depends on an unknown parameter $θ_0$. The consistency and the asymptotic normality of the maximum likelihood estimator of the parameter are proved. These results are used to study change-point problem in the parameter $θ_0$. We propose two tests based on the likelihood of the observations. Under the null hypothesis (i.e. no change), it is proved that both those test statistics converge to an explicit distribution. Consistencies under alternatives are proved for both tests. Simulation results show how those procedure work practically, and an application to real data is also processed.

研究の動機と目的

• 条件付き平均を支配するパラメータに潜在的な構造的変化を伴う度数時系列のための統計的推論手法を開発すること。
• 標準的な stationarity 仮定が成立しない整数値時系列におけるパラメータシフトの検出という課題に対処すること。
• 未知パラメータを含む一般クラスのポアソン自己回帰モデルにおいて、最尤推定量の漸近的性質を確立すること。
• 強度関数のパラメータにおける構造的変化を検出するための2つの尤度に基づく検定統計量を提案・検証すること。
• 弱依存性と収縮性の議論を用いて、度数過程における変化点検出の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• モデルは、度数過程の条件付き平均が過去の観測値の非線形関数であると仮定し、リンク関数が未知パラメータ θ₀ に依存する。
• 条件付き強度関数に対するリプシッツ型の条件により、条件付き平均が過去の観測値のみの関数として表現可能であることが保証される。
• 正則性条件の下で、θ₀ の最尤推定量（MLE）が一貫的かつ漸近的に正規分布に従うことが示される。
• θ₀ における構造的変化を検出するための2つの尤度に基づく検定統計量が提案される：1つは完全尤度に基づき、もう1つは2セグメント尤度分解に基づく。
• 弱依存性およびエルゴード性の議論を用いて、帰無仮説（変化なし）の下での両検定統計量の漸近的分布が導出される。
• 代替仮説の下で検定の漸近的一貫性が証明され、真のパラメータシフトを検出する能力が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 度数のポアソン自己回帰モデルにおけるパラメータの最尤推定量は、一般の依存構造および非線形性のもとで一貫的に推定可能か？
• RQ2 度数過程のパラメータにおける構造的変化がないという帰無仮説の下で、尤度比検定統計量の漸近的分布は何か？
• RQ3 尤度に基づく推論を用いて、ポアソン自己回帰モデルにおけるパラメータの構造的変化をどのように検出できるか？
• RQ4 尤度比検定が、度数時系列におけるパラメータシフトを検出する能力を維持するための条件は何か？
• RQ5 MLE および検定統計量の理論的性質は、無限次元依存構造および弱依存構造を持つモデルへと拡張可能か？

主な発見

• 強度関数にリプシッツ型の条件が成り立つ限り、ポアソン自己回帰モデルにおけるパラメータ θ₀ の最尤推定量は一貫的かつ漸近的に正規分布に従う。
• 構造的変化がないという帰無仮説の下で、両検定統計量は明示的な漸近的分布に収束し、臨界値の決定が可能になる。
• 代替仮説の下で検定は一貫的であり、標本サイズが増加するにつれて真のパラメータ変化を検出可能である。
• MLE の漸近的分散はフィッシャー情報行列を用いて導出され、検定統計量の漸近的分布は対数尤度の曲率に依存する。
• シミュレーションスタディにより、検定の経験的サイズと検出力が確認され、有限標本でも良好な性能を示す。
• 実際の度数データへの応用により、イベント回数における構造的変化の検出に本手法の実用的有用性が示された。