[論文レビュー] Inference on a Distribution Function from Ranked Set Samples

Lutz Duembgen, Ehsan Zamanzade|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2013

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、固定またはランダムな順位を伴う順序集合標本からの累積分布関数（CDF）の推定器として、層別推定器、ノンパラメトリック最尤推定器、およびモーメントベース推定器の3種類を開発・比較する。すべての推定器に対して関数的中心極限定理を確立し、特に不均衡な標本設計下で、モーメントベース推定器が優れた効率性と不完全な順位付けに対するロバスト性を示すことを示している。

ABSTRACT

Consider independent observations $(X_1,R_1)$, $(X_2,R_2)$, \ldots, $(X_n,R_n)$ with random or fixed ranks $R_i \in \{1,2,\ldots,k\}$, while conditional on $R_i = r$, the random variable $X_i$ has the same distribution as the $r$-th order statistic within a random sample of size $k$ from an unknown continuous distribution function $F$. Such observation schemes are utilized in situations in which ranking observations is much easier than obtaining their precise values. Two well-known special cases are ranked set sampling (McIntyre 1952) and judgement post-stratification (MacEachern et al. 2004). Within a general setting including unbalanced ranked set sampling we derive and compare the asymptotic distributions of three different estimators of the distribution function $F$ as $n o \infty$ with fixed $k$: The stratified estimator of Stokes and Sager (1988), the nonparametric maximum-likelihood estimator of Kvam and Samaniego (1994) and a moment-based estimator of Chen (2001). Our functional central limit theorems generalize and refine previous asymptotic analyses. In addition we discuss briefly pointwise and simultaneous confidence intervals for the distribution function $F$ with guaranteed coverage probability for finite sample sizes. The methods are illustrated with a real data example, and the potential impact of imperfect rankings is investigated in a small simulation experiment. All in all, the moment-based estimator seems to offer a good compromise between efficiency and robustness versus imperfect ranking, in addition to computational efficiency.

研究の動機と目的

• 固定またはランダムな順位を伴う順序集合標本からの累積分布関数（CDF）のための漸近的推論手法の開発および比較。
• 既存の漸近的理論をバランスの取れた順序集合標本に限らず、一般の不均衡設計およびランダム順位付けスキームへと拡張すること。
• 不完全な順位付けおよび有限標本条件下での、3つのCDF推定器の相対的効率性とロバスト性の評価。
• 有限標本の被覆確率が保証された点ごとの信頼区間および同時信頼区間の構築。
• 効率性、ロバスト性、計算上の実行可能性に基づく推定器選択に関する実用的指針の提供。

提案手法

• 一般の不均衡な順序集合標本下での層別推定器（StokesとSager, 1988）の漸近的分布を導出する。
• ベータ分布に従う順序統計量を用いた条件付き尤度最大化により、ノンパラメトリック最尤推定器（KvamとSamaniego, 1994）を分析する。
• 経験的確率と理論的確率を一致させる推定方程式を用いたモーメントベース推定器（Chen, 2001）を提案・検討する。
• すべての3つの推定器に対して関数的中心極限定理を確立し、分布関数をインデックスとするガウス過程への弱収束を示す。
• 経験過程理論およびベータ分布の性質を用いて、各推定器の漸近的分散関数を導出する。
• シミュレーションおよび理論的境界を用いて、有限標本被覆確率が保証された制限ガウス過程を用いた信頼帯の構築。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不均衡な順序集合標本下で、層別推定器、MLE、モーメントベース推定器のCDFの漸近的分布はどのように比較できるか？
• RQ2 固定された $k$ と $n \to \infty$ の下で、3つの推定器の相対的漸近的効率性はいかほどか？
• RQ3 不完全な順位付けは、有限標本下での各推定器の性能にどのように影響するか？
• RQ4 有限標本被覆確率が保証されたCDFの同時信頼帯を構築することは可能か？
• RQ5 どの推定器が、効率性、順位付け誤差に対するロバスト性、および計算の単純さの間で最良の妥協を提供するか？

主な発見

• モーメントベース推定器は、特に不均衡な標本設計および不完全な順位付け下で、3つの推定器の中で最高の相対的漸近的効率性を達成する。
• 層別推定器は最大の漸近的分散を示し、一部の層サイズ $N_{nr}$ がゼロとなる場合に性能が著しく劣化する。
• ノンパラメトリックMLEは層別推定器より空の層に対してよりロバストであるが、モーメントベース推定器ほど効率的ではない。
• 小さなシミュレーション実験により、モーメントベース推定器は不完全な順位付け下でも良好な性能を維持することが示された。
• 理論的およびシミュレーションの結果から、モーメントベース推定器は、効率性とロバスト性の間で優れた妥協を提供することが確認された。
• 本稿で導出した制限ガウス過程を用いることで、CDFの有限標本被覆確率が保証された信頼帯を構築可能であることが確認された。