[論文レビュー] Infinite-dimensional uniform polyhedra

Sergey A. Melikhov|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 36被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、可算単体複体の幾何的実現に一様構造を構成することによって、無限次元一様多面体（底面の位相的空間が多面体である可縮一様空間）の理論を提示する。主な貢献は、任意の完備一様 ANR が可算前順序集合の厚化された二重写像テレスコープの幾何的実現と一様ホモトピー同値であることを証明し、無限次元空間における一様ホモトピー分類枠組みを確立することにある。

ABSTRACT

Uniform covers with a finite-dimensional nerve are rare (i.e., do not form a cofinal family) in many separable metric spaces of interest. To get hold on uniform homotopy properties of these spaces, a reasonably behaved notion of an infinite-dimensional metric polyhedron is needed; a specific list of desired properties was sketched by J. R. Isbell in a series of publications in 1959-64. In this paper we construct what appears to be the desired theory of uniform polyhedra; incidentally, considerable information about their metric and Lipschitz properties is obtained.

研究の動機と目的

• 分離可測空間における一様ホモトピー論のギャップを埋めるために、無限次元一様多面体の整合性のある理論を構築すること。
• 1950年代に J. R. Isbell が提起した研究計画を果たすこと。この計画は、非コンパクトかつ無限次元空間に対して多面体的構造の類似物（一様版）を求めるものである。
• 一様連続性、一様被覆、一様 ANR が位相的同等物に代わる一様圏の枠組みを提供すること。
• 完備一様 ANR が無限大の組合せ的構成（例：二重写像テレスコープ）の幾何的実現と一様ホモトピー同値であることを確立すること。

提案手法

• 可算単体複体 $K$ の幾何的実現 $||K||$ に $l_∞$ ノルムを用いて一様構造を構成し、その構造が計量位相と整合することを保証する。
• 重心分割と適切な単体的分割を用いて、一様構造を制御し、被覆を一様に精緻化する。
• 二重写像テレスコープおよびその厚化版の概念を用い、完備一様 ANR の一様ホモトピー型をモデル化する。
• 一様ホモトピー同値と一様多面体の列の逆極限を用いて、完備一様 ANR を表現する。
• Hahn の性質と一様局所可縮性を活用し、恒等写像の近似として一様に近い写像の構成を行う。
• 写像シリンダー構成と一様ホモトピー上昇性質を用いて、写像をテレスコープ全体に拡張し、一様連続性およびホモトピー同値性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元多面体に一様構造を定義できるか。その構造が一様ホモトピー性質を制御し、Isbell の有限次元理論を一般化できるか。
• RQ2 任意の完備一様 ANR は、一様構造のもとで可算前順序集合の幾何的実現と一様ホモトピー同値であるか。
• RQ3 任意の完備一様 ANR の一様ホモトピー型は、一様ホモトピー同値を伴う一様多面体の逆列の極限として表現可能か。
• RQ4 無限次元の場合でも、繰り返し重心分割と適切な被覆を用いた組合せ的制御が一様多面体に可能か。
• RQ5 二重写像テレスコープ構成は厚化され、一様構造を備えた一様多面体にできるか。その一様多面体が与えられた完備一様 ANR と一様ホモトピー同値であるか。

主な発見

• 可算単体複体 $K$ に対して、$||K||$ に計量位相と整合する一様構造を構成した。この構造は、古典的多面体的性質の一様版を満たす。
• 任意の完備一様 ANR $X$ に対して、$X \times \mathbb{R}$ が可算前順序集合の列の厚化された二重写像テレスコープの幾何的実現と一様ホモトピー同値であることが示された。
• 任意の完備一様 ANR は、自身が一様多面体である厚化された二重写像テレスコープの幾何的実現と一様ホモトピー同値である。
• 一様多面体の収束する逆列と一様連続写像の逆極限は、任意の完備一様 ANR を表現可能であり、各結合写像はホモトピー同値である。
• 一様多面体間の一様ホモトピー同値は、反復結合複体 $K^{\#n}$ 間の単調写像を介して構成可能であり、これらの写像の幾何的実現は一様ホメオモーティズムと一様ホモトープである。
• 理論により、一様 ANR が一様多面体によって一様ホモトピー的に支配可能であることが確立され、Isbell の有限次元結果が無限次元設定に拡張された。