[論文レビュー] Infinite-dimensional vector bundles in algebraic geometry (an introduction)

Vladimir Drinfeld|ArXiv.org|Sep 8, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 36被引用数 52

ひとこと要約

本稿は、Tate空間とK理論を用いて、代数幾何における無限次元ベクトル束のきめ細やかな枠組みを導入し、それらが表面におけるモチーフ的積分および束のモジュライに果たす役割を確立する。K_{-1}-理論と次元ねじれ（dimension torsor）を用いてTate空間の族を定義し、形式的ループおよび穴あき多様体上のベクトル束に理論を適用することで、洗練されたモチーフ的積分と、指定された特異性を持つ表面におけるG束の新しいモジュライスタックを導出する。

ABSTRACT

Raynaud and Gruson showed that there is a reasonable algebro-geometric notion of family of discrete (infinite-dimensional) vector spaces. The author introduces a notion of family of Tate spaces ("Tate" means "locally linearly compact") and claims that it is local. The definition takes in account that the K_{-1} of a ring is not necessarily zero. However, we prove that K_{-1} always vanishes after Nisnevich sheafification. As a discrete counterpart of families of Tate spaces, we introduce the notion of almost projective module. We discuss the notions of dimension torsor and determinant gerbe of a family of Tate spaces. The above technique has two different applications. First, we clarify the structure of the ind-scheme of formal loops of a smooth affine manifold Y. This allows to define a "refined" motivic integral of a differential form on Y with no zeros, which is an object of a triangulated category rather than an element of its K_0 group. Second, we show that almost projective modules and families of Tate spaces appear naturally in the study of the cohomology of a family of finite-dimensional vector bundles on a punctured smooth manifold. The canonical central extension that comes from this cohomology allows to interpret the "Uhlenbeck compactification" of the stack of vector bundles on the projective plane as the fine moduli space of a certain type of generalized vector bundles.

研究の動機と目的

• 無限次元的で局所的に線形コン pact なファイバーをもつベクトル束の整合的な代数幾何的理論を構築すること。
• 三角化された圏と行列式gerbeを用いて、群値不変量ではなく、洗練されたバージョンのモチーフ的積分へとモチーフ的積分を拡張すること。
• 前束（pre-gundles）と中心拡大を用いて、特徴付けられた特異性を持つ表面におけるG束のモジュライスタックを構成すること。
• K_{-1}(R)と次元ねじれが、Tateモジュールの族およびその双対の分類に果たす役割を明確にすること。
• 形式的ループ空間とTate滑らかind-スキームの間の接続を確立し、算術幾何における新しい不変量を可能にすること。

提案手法

• 無限次元的ベクトル束の基礎対象として、ほぼ射影的モジュールの射影極限として定義されるR上のTateモジュールを用いる。
• Calkin圏を介してK_{-1}(R)を適用し、Tate空間の族を分類し、次元ねじれを定義する。
• 行列式gerbeと標準的中心拡大を、ほぼ射影的およびTateモジュールの自己同型群に導入する。
• 体k((t))上の滑らかでアフィンな多様体の形式的ループ空間に、Tate滑らかind-スキーム構造を定義する。
• 閉じた部分スキームFを除いたX上のベクトル束としてのpre-gundlesを定義し、中心拡大の分解を備える。
• 有限で局所的完全交差部分スキームの帰納的2-極限を用いて、X上のGL(n)-gundlesの完全なモジュライスタックを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数幾何において、無限次元的で局所的に線形コン pact なファイバーをもつベクトル束に意味的な概念を定義できるか？
• RQ2 K_{-1}(R)と次元ねじれは、スキームSpec(R)上のTate空間の族を分類するためにどのように用いられるか？
• RQ3 群値不変量ではなく、三角化された圏と行列式gerbeを用いて、モチーフ的積分を洗練させることは可能か？
• RQ4 指定された特異性を持つ表面におけるG束のモジュライスタックの構造はいかなるものか？
• RQ5 k((t))上の滑らかスキームの形式的ループ空間は、どのようにTate滑らか構造をもつのか？また、どのような不変量を保持するか？

主な発見

• k((t))上の滑らかでアフィンな多様体の形式的ループのind-スキームは、k上でTate滑らかであることが示され、重要な幾何的応用が得られた。
• 洗練されたモチーフ的積分は、グローテンディーク群ではなく三角化圏の値をとるため、より強い不変量である。
• R上のTateモジュールの次元ねじれは非自明であり、行列式理論の拡張を分類する。
• P^2_Q上、P^1_Qで自明化されたGL(n)-gundlesのモジュライスタックは、GL(n)-作用によるUhlenbeckコンパクト化と同型である。
• 体kに対して、表面X上のpre-gundlesのスタックは、ベクトル束Lと0次元サイクルZのペア(L, Z)のグループイドと同値である。
• pre-gundlesスタック内のgundlesの閉じた部分スタックは、0次元サイクルZが有効的（Z ≥ 0）であるという条件によって特徴付けられる。